作业帮线性代数特征值特征向量正则随即矩阵问题，线代问题，稳态向量
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：综合作业 时间：2024/10/04 05:37:16
线性代数特征值特征向量正则随即矩阵问题，线代问题，稳态向量
具体问题发到115上了，是那个PDF的第五题，115网盘提取码是dp4fdl9k#
或发邮箱qq704112654@163.com，高手可加Q详谈，做得好200分都给你
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五、特征值、特征向量问题
一个具有非负分量且各个分量之和为1 的向量称为概率向量；随机矩阵是各
列向量均为概率向量的方阵。如果随机矩阵的各个元素都是正数，则称为正则随
机矩阵。随机矩阵在马尔可夫链（Markov chain）理论中具有重要应用。
1. 设 为如下的正则随机矩阵： P
0.3355 0.3682 0.3067 0.0389
0.2663 0.2723 0.3277 0.5451
0.1935 0.1502 0.1589 0.2395
0.2047 0.2093 0.2067 0.1765
试计算P的 k次方， k = 1, 2, 3, 4, 5（计算结果保留4 位小数），观察当 k增加时，p 的列将有什么结果？
2. 生成一些更高阶（如10阶、20阶矩阵）的正则随机矩阵，检验你所得
到的结果是否正确。用你掌握的知识证明所得到的结果。
3. 如果概率向量q 满足Pq =q 则称为q方阵P 的稳态向量。试证明任何随
机矩阵至少存在一个稳态向量。进一步，若稳态向量q唯一，且x0为任意一个初
始向量，xk+1=Pxk（k+1，k为角标k=0，1，2...） 则当k→∞ 时，马尔可夫链 { xk}x 收敛到q （即当
充分大时，xk中各个分量无限接近q 中对应的分量，或表示为k→∞时||xk-q||的极限为0
前两个小问题自己动手算，结论很简单，但是看上去你不算一遍应该是不容易预测出来的
第三小题还稍微需要点知识
首先注意1是P的特征值（因为e'*P=0，其中e是元素全为1的列向量），必存在右特征向量
接下去的命题是错的，需要修正成
若P是正则随机矩阵，x0是元素之和为1的任何向量，那么上述迭代序列将收敛到q
(注意正则性比稳态向量的唯一性要强，而x0的元素和在迭代中保持不变，若不为1一定不可能收敛到q，这两处错误都会导致反例)
证明比较容易，用一下Perron定理和诸如Jordan标准型的特征分解就出来了
第三小题还稍微需要点知识
首先注意1是P的特征值（因为e'*P=0，其中e是元素全为1的列向量），必存在右特征向量
接下去的命题是错的，需要修正成
若P是正则随机矩阵，x0是元素之和为1的任何向量，那么上述迭代序列将收敛到q
(注意正则性比稳态向量的唯一性要强，而x0的元素和在迭代中保持不变，若不为1一定不可能收敛到q，这两处错误都会导致反例)
证明比较容易，用一下Perron定理和诸如Jordan标准型的特征分解就出来了