余元公式咋证明?
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/28 04:39:19
余元公式咋证明?
这个证明方法不唯一 仅仅给出一种十分简单的 我这里假设你已经学过欧拉积分 就是Gamma函数和Beta函数 下面给出证明
下面引入一个Gamma函数Γ(x)和Beta函数B(p,q)的关系
B(p,q)= Γ(q) *Γ(p)/ Γ(p+q)
Γ(q) *Γ(p)=∫(0,+∞) ∫(0,+∞) [(x^p-1)(y^q-1)(e^-(x+y))] dx dy
令x==uv y=u(1-v)
Γ(q) *Γ(p)= ∫(0,+∞) ∫(0,1) [(uv^p-1)(u(1-v)^q-1)(e^-u) u]du dv
=∫(0,+∞) [u^(p+q-1)e^-u]du ∫(0,1) [v^(p-1)*(1-v)^(q-1)]dv
=Γ(p+q)* B(p,q)
下面证明余元公式
对于任意p属于(0,1)
Γ(p) Γ(1-p)= Γ(1)* B(p,1-p)= B(p,1-p)
= ∫(0,1) [x^(p-1)*(1-x)^(-p)]dx
令t=1/(1-x)
Γ(p) Γ(1-p)= ∫(0,+∞) [t^(p-1)/(1+t)]dt
将t^(p-1)/(1+t)展开 可证明它是一致收敛的函数项级数 故积分号与极限可交换 因此
Γ(p) Γ(1-p)=Σ(n=0,+ ∞) [(-1)^n/(n+p)]
利用Fourier级数即可得到
对于任意p属于(0,1)
Γ(p) Γ(1-p)=π/sin (pπ)
关于Fourier级数的一些性质这里并没有列举 不过我相信你学过级数和多项式逼近定理 Fourier级数这部分基本知识很容易掌握 如有问题 可以继续提问 我一般晚上十点半到十一点在线
下面引入一个Gamma函数Γ(x)和Beta函数B(p,q)的关系
B(p,q)= Γ(q) *Γ(p)/ Γ(p+q)
Γ(q) *Γ(p)=∫(0,+∞) ∫(0,+∞) [(x^p-1)(y^q-1)(e^-(x+y))] dx dy
令x==uv y=u(1-v)
Γ(q) *Γ(p)= ∫(0,+∞) ∫(0,1) [(uv^p-1)(u(1-v)^q-1)(e^-u) u]du dv
=∫(0,+∞) [u^(p+q-1)e^-u]du ∫(0,1) [v^(p-1)*(1-v)^(q-1)]dv
=Γ(p+q)* B(p,q)
下面证明余元公式
对于任意p属于(0,1)
Γ(p) Γ(1-p)= Γ(1)* B(p,1-p)= B(p,1-p)
= ∫(0,1) [x^(p-1)*(1-x)^(-p)]dx
令t=1/(1-x)
Γ(p) Γ(1-p)= ∫(0,+∞) [t^(p-1)/(1+t)]dt
将t^(p-1)/(1+t)展开 可证明它是一致收敛的函数项级数 故积分号与极限可交换 因此
Γ(p) Γ(1-p)=Σ(n=0,+ ∞) [(-1)^n/(n+p)]
利用Fourier级数即可得到
对于任意p属于(0,1)
Γ(p) Γ(1-p)=π/sin (pπ)
关于Fourier级数的一些性质这里并没有列举 不过我相信你学过级数和多项式逼近定理 Fourier级数这部分基本知识很容易掌握 如有问题 可以继续提问 我一般晚上十点半到十一点在线