作业帮推导球的表面积公式的疑惑
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/06 00:31:37
推导球的表面积公式的疑惑
若把球分割成多个圆柱进行积分得到的公式是S=π^2 * r^2,这是什么原因,一定要分割成小圆锥吗?
若把球分割成多个圆柱进行积分得到的公式是S=π^2 * r^2,这是什么原因,一定要分割成小圆锥吗?
球怎样分割成多个圆柱呢?你能详细说一下吗?看看有没有问题
再问： 就是竖直向上 一层一层
再答： 这样不能等效为圆柱的，因为每一层的表面的倾斜角由赤道的90度逐渐缩小到北极的0度 你等效为圆柱的话你每一层都会损失一部分的面积，所以最后的结果是偏小的 你可以试试每层圆柱的侧面积除以倾斜角的余弦，但这样做也不是保证能推出来的 如有需要，你可以看看有关“定积分”的定义、存在性等方面的内容 希望能帮到你~~~~
再问： 但是当高趋向于0时它不就可以看成圆柱了吗？ 用同样的分割法推导体积公式时又是正确的 这是什么缘故？
再答： 经验上，正确的分割常会有这样的特点：若分别取左边界和右边界计算微元的值，刚好一个是偏大的一个是偏小的，而且当分割得很小很小时，左右边界逐渐变成同一个东西。正因为有这个特点，才可以在左右边界范围内随便选一个值来当做微元的代表。 比如说圆柱分割法求体积，取靠上的一圈算偏小、靠下的一圈偏大，高趋于0时上下两个圆是趋于相同的； 但是圆柱求面积就不是了，取靠上、靠下的一圈算都是偏小的（因为没有考虑到倾斜角的因素），事实上在中间取也是偏小的，所以它们都不能代表这个微元。 不过，以上的说法是不严格的。要真正理解，还是请自学下“定积分”吧~~
再问： 就是竖直向上 一层一层
再答： 这样不能等效为圆柱的，因为每一层的表面的倾斜角由赤道的90度逐渐缩小到北极的0度 你等效为圆柱的话你每一层都会损失一部分的面积，所以最后的结果是偏小的 你可以试试每层圆柱的侧面积除以倾斜角的余弦，但这样做也不是保证能推出来的 如有需要，你可以看看有关“定积分”的定义、存在性等方面的内容 希望能帮到你~~~~
再问： 但是当高趋向于0时它不就可以看成圆柱了吗？ 用同样的分割法推导体积公式时又是正确的 这是什么缘故？
再答： 经验上，正确的分割常会有这样的特点：若分别取左边界和右边界计算微元的值，刚好一个是偏大的一个是偏小的，而且当分割得很小很小时，左右边界逐渐变成同一个东西。正因为有这个特点，才可以在左右边界范围内随便选一个值来当做微元的代表。 比如说圆柱分割法求体积，取靠上的一圈算偏小、靠下的一圈偏大，高趋于0时上下两个圆是趋于相同的； 但是圆柱求面积就不是了，取靠上、靠下的一圈算都是偏小的（因为没有考虑到倾斜角的因素），事实上在中间取也是偏小的，所以它们都不能代表这个微元。 不过，以上的说法是不严格的。要真正理解，还是请自学下“定积分”吧~~