作业帮范德蒙行列式
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/07 14:38:14
范德蒙行列式
(1) 考虑增广矩阵的行列式
|A,b| = (a2-a1)(a3-a1)(a4-a1)(a3-a2)(a4-a2)(a4-a3)≠0
所以 r(A)=3,r(A,b)=4
所以方程组无解.
(2) 增广矩阵(A,b) =
1 k k^2 k^3
1 -k k^2 -k^3
1 k k^2 k^3
1 -k k^2 -k^3
r3-r2,r2-r1,r4-r1
1 k k^2 k^3
0 -2k 0 -2k^3
0 0 0 0
0 0 0 0
因为k≠0,所以 r(A)=r(A,b)=2.
所以Ax=0的基础解系含 3-r(A)=1 个解向量.
所以非零解向量β1-β2是Ax=0的一个基础解系
所以方程组的通解为:
β1+c(β1-β2)=(-1,1,1)^T+c(-2,0,2)^T.
再问： 有两个地方不太明白，请问： （1）第一问中r(A)=3是如何得出的？ （2）第二问中，如果我用图片中这个做法对不对，如果不对请问错在哪里了呢？谢谢~
再答： (1) (A,b)的行列式不等于0, 所以其列向量组线性无关 所以 r(A,b)=4. r(A)=3 (2) 你那 (-3c1, 1,c1)^T 中 -3c1 怎么来的? 应该是 -c1 才对呀.
再问： (A,b)的行列式不等于0, 不是只能得出（A,b）无关从而r(A,b)=4么，怎么得出r(A)的呢？ 应该是-c1，是我打错了。。。那这么化对么？
再答： (A,b)的列向量组线性无关, 那它的任意一个部分组也线性无关 所以 r(A)=3. -c1 就对了, 表达式不是唯一的
|A,b| = (a2-a1)(a3-a1)(a4-a1)(a3-a2)(a4-a2)(a4-a3)≠0
所以 r(A)=3,r(A,b)=4
所以方程组无解.
(2) 增广矩阵(A,b) =
1 k k^2 k^3
1 -k k^2 -k^3
1 k k^2 k^3
1 -k k^2 -k^3
r3-r2,r2-r1,r4-r1
1 k k^2 k^3
0 -2k 0 -2k^3
0 0 0 0
0 0 0 0
因为k≠0,所以 r(A)=r(A,b)=2.
所以Ax=0的基础解系含 3-r(A)=1 个解向量.
所以非零解向量β1-β2是Ax=0的一个基础解系
所以方程组的通解为:
β1+c(β1-β2)=(-1,1,1)^T+c(-2,0,2)^T.
再问： 有两个地方不太明白，请问： （1）第一问中r(A)=3是如何得出的？ （2）第二问中，如果我用图片中这个做法对不对，如果不对请问错在哪里了呢？谢谢~
再答： (1) (A,b)的行列式不等于0, 所以其列向量组线性无关 所以 r(A,b)=4. r(A)=3 (2) 你那 (-3c1, 1,c1)^T 中 -3c1 怎么来的? 应该是 -c1 才对呀.
再问： (A,b)的行列式不等于0, 不是只能得出（A,b）无关从而r(A,b)=4么，怎么得出r(A)的呢？ 应该是-c1，是我打错了。。。那这么化对么？
再答： (A,b)的列向量组线性无关, 那它的任意一个部分组也线性无关 所以 r(A)=3. -c1 就对了, 表达式不是唯一的