作业帮高一数学（关于函数）（速度）
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/09/14 03:03:21
高一数学（关于函数）（速度）
已知函数f（x）是定义在R上的不恒为0的函数,且对任意的a,b属于R都满足f（ab）=af（b）+bf（a）.
（1）求f（0）,f（1）的值.
（2）判断f（x）的奇偶性.
简单过程.
已知函数f（x）是定义在R上的不恒为0的函数,且对任意的a,b属于R都满足f（ab）=af（b）+bf（a）.
（1）求f（0）,f（1）的值.
（2）判断f（x）的奇偶性.
简单过程.
由已知f(1*1)=1*f(1)+1*f(1),所以f(1)=2f(1),所以f(1)=0
f(0*2)=0*f(2)+2f(0),所以f(0)=2f(0),所以f(0)=0
(2)f((-x)*(-x))=-xf(-x)-xf(-x)=-2xf(-x)
即f(x^2)=-2xf(-x)
又f(x*x)=xf(x)+xf(x)=2xf(x)
所以2xf(x)=-2xf(-x),所以2x[f(x)+f(-x)]=0
所以当x≠0时,f(-x)+f(x)=0,即f(-x)=-f(x)
又当x=0时,f(-x)=-f(x)也成立
所以f(x)是奇函数
f(0*2)=0*f(2)+2f(0),所以f(0)=2f(0),所以f(0)=0
(2)f((-x)*(-x))=-xf(-x)-xf(-x)=-2xf(-x)
即f(x^2)=-2xf(-x)
又f(x*x)=xf(x)+xf(x)=2xf(x)
所以2xf(x)=-2xf(-x),所以2x[f(x)+f(-x)]=0
所以当x≠0时,f(-x)+f(x)=0,即f(-x)=-f(x)
又当x=0时,f(-x)=-f(x)也成立
所以f(x)是奇函数