作业帮证明抛物线的通径的两个端点的横坐标之积,纵坐标之积分别都是定值
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/10/04 16:19:26
证明抛物线的通径的两个端点的横坐标之积,纵坐标之积分别都是定值
设直线l与抛物线y^2=2px(p>0)交于A、B两点,且OA⊥OB（O为坐标原点）求证：
（1）A、B两点的横坐标之积,纵坐标之积分别都是定值.
（2）直线AB经过一个定点.
设直线l与抛物线y^2=2px(p>0)交于A、B两点,且OA⊥OB（O为坐标原点）求证：
（1）A、B两点的横坐标之积,纵坐标之积分别都是定值.
（2）直线AB经过一个定点.
1)
设A(x1,y1),B(x2,y2)
则：y1^2=2px1,y2^2=2px2
(y1y2)^2=4p^2x1x2
而由OA⊥OB,知,y1/x1*y2/x2=-1
y1y2=-x1x2
所以,
(x1x2)^2=4p^2x1x2
x1x2=4p^2
y1y2=-x1x2=-4p^2
所以,A、B两点的横坐标之积,纵坐标之积分别都是定值.
2）
y2^2-y1^2=2p(x2-x1)
AB斜率=(y2-y1)/(x2-x1)=2p/(y2+y1)
AB直线方程为：y=2p(x-x1)/(y2+y1)+y1
y(y2+y1)-2p(x-x1)=y1(y2+y1)
而y1(y2+y1)=y1y2+y1^2=-4p^2+2px1
所以,y(y2+y1)-2p(x-x1)=-4p^2+2px1
y(y2+y1)-2px+4p^2=0
y(y2+y1)-2p(x-2p)=0
所以,x=2p,y=0时,等式恒成立
直线AB经过定点(2p,0)
设A(x1,y1),B(x2,y2)
则：y1^2=2px1,y2^2=2px2
(y1y2)^2=4p^2x1x2
而由OA⊥OB,知,y1/x1*y2/x2=-1
y1y2=-x1x2
所以,
(x1x2)^2=4p^2x1x2
x1x2=4p^2
y1y2=-x1x2=-4p^2
所以,A、B两点的横坐标之积,纵坐标之积分别都是定值.
2）
y2^2-y1^2=2p(x2-x1)
AB斜率=(y2-y1)/(x2-x1)=2p/(y2+y1)
AB直线方程为：y=2p(x-x1)/(y2+y1)+y1
y(y2+y1)-2p(x-x1)=y1(y2+y1)
而y1(y2+y1)=y1y2+y1^2=-4p^2+2px1
所以,y(y2+y1)-2p(x-x1)=-4p^2+2px1
y(y2+y1)-2px+4p^2=0
y(y2+y1)-2p(x-2p)=0
所以,x=2p,y=0时,等式恒成立
直线AB经过定点(2p,0)
证明抛物线的通径的两个端点的横坐标之积,纵坐标之积分别都是定值
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