作业帮已知关于x的一元二次方程（6-k）（9-k）x2-（117-15k）x+54=0的两个根均为整数，求所有满足条件的实数k
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/18 01:27:26
已知关于x的一元二次方程（6-k）（9-k）x2-（117-15k）x+54=0的两个根均为整数，求所有满足条件的实数k的值．
原方程可化为：[（6-k）x-9][（9-k）x-6]=0．
因为此方程是关于x的一元二次方程，
所以，k≠6，k≠9，
于是有：x1=
9
6−k①，x2=
6
9−k②．
由①得k=
6x1−9
x1，由②得k=
9x2−6
x2，
∴
6x1−9
x1=
9x2−6
x2，
整理得x1x2-2x1+3x2=0，
有（x1+3）（x2-2）=-6．
∵x1、x2均为整数，
∴
x1+3＝−6，−3，−2，−1，1，2，3，6
x2−2＝1，2，3，6，−6，−3，−2，−1．
故x1=-9，-6，-5，-4，-2，-1，0，3．
又k=
6x1−9
x1=6-
9
x1，
将x1=-9，-6，-5，-4，-2，-1，3分别代入，得
k=7，
15
2，
39
5，
33
4，
21
2，15，3．
因为此方程是关于x的一元二次方程，
所以，k≠6，k≠9，
于是有：x1=
9
6−k①，x2=
6
9−k②．
由①得k=
6x1−9
x1，由②得k=
9x2−6
x2，
∴
6x1−9
x1=
9x2−6
x2，
整理得x1x2-2x1+3x2=0，
有（x1+3）（x2-2）=-6．
∵x1、x2均为整数，
∴
x1+3＝−6，−3，−2，−1，1，2，3，6
x2−2＝1，2，3，6，−6，−3，−2，−1．
故x1=-9，-6，-5，-4，-2，-1，0，3．
又k=
6x1−9
x1=6-
9
x1，
将x1=-9，-6，-5，-4，-2，-1，3分别代入，得
k=7，
15
2，
39
5，
33
4，
21
2，15，3．
已知关于x的一元二次方程（6-k）（9-k）x2-（117-15k）x+54=0的两个根均为整数，求所有满足条件的实数k
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