若函数y=f(x)在x=x0处取得极大值或极小值,则称x0为函数y=f(x)的极值点.已知a,b是实数,1和-1是函数f
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/04 15:49:13
若函数y=f(x)在x=x0处取得极大值或极小值,则称x0为函数y=f(x)的极值点.已知a,b是实数,1和-1是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点.
(1)求a和b的值;
(2)设函数g(x)的导函数g′(x)=f(x)+2,求g(x)的极值点;
(3)设h(x)=f(f(x))-c,其中c∈[-2,2],求函数y=h(x)的零点个数.
(1)求a和b的值;
(2)设函数g(x)的导函数g′(x)=f(x)+2,求g(x)的极值点;
(3)设h(x)=f(f(x))-c,其中c∈[-2,2],求函数y=h(x)的零点个数.
(1)由 f(x)=x3+ax2+bx,得 f′(x)=3x2+2ax+b.
∵1和-1是函数f(x)的两个极值点,
∴f′(1)=3-2a+b=0,f′(-1)=3+2a+b=0,解得a=0,b=-3.
(2)由(1)得,f(x)=x3-3x,∴g′(x)=f(x)+2=x3-3x+2=(x-1)2(x+2)=0,解得x1=x2=1,x3=-2.
∵当x<-2时,g′(x)<0;当-2<x<1时,g′(x)>0,
∴-2是g(x)的极值点.
∵当-2<x<1或x>1时,g′(x)>0,∴1不是g(x) 的极值点.
∴g(x)的极值点是-2.
(3)令f(x)=t,则h(x)=f(t)-c.
先讨论关于x的方程f(x)=d根的情况,d∈[-2,2]
当|d|=2时,由(2 )可知,f(x)=-2的两个不同的根为1和一2,注意到f(x)是奇函数,
∴f(x)=2的两个不同的根为-1和2.
当|d|<2时,∵f(-1)-d=f(2)-d=2-d>0,f(1)-d=f(-2)-d=-2-d<0,
∴一2,-1,1,2 都不是f(x)=d 的根.
由(1)知,f′(x)=3(x+1)(x-1).
①当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,于是f(x)是单调增函数,从而f(x)>f(2)=2.
此时f(x)=d在(2,+∞)无实根.
②当x∈(1,2)时,f′(x)>0,于是f(x)是单调增函数.
又∵f(1)-d<0,f(2)-d>0,y=f(x)-d的图象不间断,
∴f(x)=d在(1,2 )内有唯一实根.
同理,在(一2,一1)内有唯一实根.
③当x∈(-1,1)时,f′(x)<0,于是f(x)是单调减函数.
又∵f(-1)-d>0,f(1)-d<0,y=f(x)-d的图象不间断,
∴f(x)=d在(一1,1 )内有唯一实根.
因此,当|d|=2 时,f(x)=d 有两个不同的根 x1,x2,满足|x1|=1,|x2|=2;当|d|<2时,f(x)=d 有三个不同的根x3,x4,x5,满足|xi|<2,i=3,4,5.
现考虑函数y=h(x)的零点:
( i )当|c|=2时,f(t)=c有两个根t1,t2,满足|t1|=1,|t2|=2.而f(x)=t1有三个不同的根,f(x)=t2有两个不同的根,故y=h(x)有5 个零点.
( i i )当|c|<2时,f(t)=c有三个不同的根t3,t4,t5,满足|ti|<2,i=3,4,5.
而f(x)=ti有三个不同的根,故y=h(x)有9个零点.
综上所述,当|c|=2时,函数y=h(x)有5个零点;当|c|<2时,函数y=h(x)有9 个零点.
∵1和-1是函数f(x)的两个极值点,
∴f′(1)=3-2a+b=0,f′(-1)=3+2a+b=0,解得a=0,b=-3.
(2)由(1)得,f(x)=x3-3x,∴g′(x)=f(x)+2=x3-3x+2=(x-1)2(x+2)=0,解得x1=x2=1,x3=-2.
∵当x<-2时,g′(x)<0;当-2<x<1时,g′(x)>0,
∴-2是g(x)的极值点.
∵当-2<x<1或x>1时,g′(x)>0,∴1不是g(x) 的极值点.
∴g(x)的极值点是-2.
(3)令f(x)=t,则h(x)=f(t)-c.
先讨论关于x的方程f(x)=d根的情况,d∈[-2,2]
当|d|=2时,由(2 )可知,f(x)=-2的两个不同的根为1和一2,注意到f(x)是奇函数,
∴f(x)=2的两个不同的根为-1和2.
当|d|<2时,∵f(-1)-d=f(2)-d=2-d>0,f(1)-d=f(-2)-d=-2-d<0,
∴一2,-1,1,2 都不是f(x)=d 的根.
由(1)知,f′(x)=3(x+1)(x-1).
①当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,于是f(x)是单调增函数,从而f(x)>f(2)=2.
此时f(x)=d在(2,+∞)无实根.
②当x∈(1,2)时,f′(x)>0,于是f(x)是单调增函数.
又∵f(1)-d<0,f(2)-d>0,y=f(x)-d的图象不间断,
∴f(x)=d在(1,2 )内有唯一实根.
同理,在(一2,一1)内有唯一实根.
③当x∈(-1,1)时,f′(x)<0,于是f(x)是单调减函数.
又∵f(-1)-d>0,f(1)-d<0,y=f(x)-d的图象不间断,
∴f(x)=d在(一1,1 )内有唯一实根.
因此,当|d|=2 时,f(x)=d 有两个不同的根 x1,x2,满足|x1|=1,|x2|=2;当|d|<2时,f(x)=d 有三个不同的根x3,x4,x5,满足|xi|<2,i=3,4,5.
现考虑函数y=h(x)的零点:
( i )当|c|=2时,f(t)=c有两个根t1,t2,满足|t1|=1,|t2|=2.而f(x)=t1有三个不同的根,f(x)=t2有两个不同的根,故y=h(x)有5 个零点.
( i i )当|c|<2时,f(t)=c有三个不同的根t3,t4,t5,满足|ti|<2,i=3,4,5.
而f(x)=ti有三个不同的根,故y=h(x)有9个零点.
综上所述,当|c|=2时,函数y=h(x)有5个零点;当|c|<2时,函数y=h(x)有9 个零点.
若函数y=f(x)在x=x0处取得极大值或极小值,则称x0为函数y=f(x)的极值点.已知a,b是实数,1和-1是函数f
对于函数f(x),若存在x0∈R,使f(x0)=x0,则称x0为f(x)的不动点.已知函数f(x)=ax2+(b+1)x
函数y=f(x)在点x=x0处取得极大值 则必有()答案f’(x0)=0或不存在
对于定义域是一切实数的函数f(x),若存在实数x0,使f(x0)=x0成立,则称x0为f(x0)的不动点.
几道高数概念题,1 若函数f(x,y)在点(x0,y0)取得极小值,则(x0,y0)必是f(x,y)的A 连续点 B 定
对于定义在R上的函数f(X).若实数X0满足f(X0)=X0,则称X0是函数f(X)的一个不动点
已知函数f(x)=ax^3+bx^2+cx在点x0处取得的极大值是5,其导函数y=f(x)的图像经过(1,0)(2,0)
已知函数f(x)=ax^3+bx^2+cx在点x0处取得的极大值是-4,其导函数y=f(x)的图像经过(1,0)(2,0
f,(x0)=0是函数f(x)在x=x0处取得极值的(?)条件
对于定义域为R的函数f(x)若存在实数X0使f(X0)=X0则称x0是f(x)的一个不动点.
已知函数y=f(x),若存在x0,使得f(x0)=x0,则x0称是函数y=f(x)的一个不动点,设f(x)=5x-2/(
若函数y=f(x)在x=x0处取得极值则有 A f '(x0)>0 B f '(x0)<0 C f '(x0)=0 D以