设函数f（x）在R上具有一阶连续导数，L是上半平面（y＞0）内的有向分段光滑曲线，起点为（a，b），终点为（c，d）．记

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/11/06 03:32:36

设函数f（x）在R上具有一阶连续导数，L是上半平面（y＞0）内的有向分段光滑曲线，起点为（a，b），终点为（c，d）．记I=∫

[1+y

证明：
（1）：
由 I=∫
1
y[1+y2f(xy)]dx+
x
y2[y2f(xy)−1]dy，
知 P(x，y)＝
1+y2f(xy)
y，Q(x，y)＝xf(xy)−
x
y2，
已知函数f（x）在R上具有一阶连续导数，
故：P（x，y）和Q（x，y）在上半平面具有一阶连续偏导，
又
∂P
∂y＝f(xy)+xyf′(xy)−
1
y2＝
∂Q
∂x
∴曲线积分I与路径L无关．

（2）：
由（1）知曲线积分I与路径L无关，
因而取积分路径为：（a，b）→（c，b）→（c，d），
∴I＝∫LP(x，y)dx+Q(x，y)dy＝
∫(c，b)(a，b)P(x，b)dx+
∫(c，d)(c，b)Q(c，y)dy
=
∫ca
1+b2f(bx)
bdx+
∫db[cf(cy)−
c
y2]dy
=
c−a
b+
∫cabf(bx)dx+
c
y
|db+
∫dbcf(cy)dy
=
c
d−
a
b+
∫caf(bx)d(bx)+
∫dbf(cy)d(cy)
=
bc−ad
bd+
∫bcabf(t)dt+
∫cdbcf(t)dt
=
bc−ad
bd+
∫cdabf(t)dt，
由于ab=cd，
故：
∫cdabf(t)dt＝0，
∴I＝
bc−ad
bd．

设函数f（x）在R上具有一阶连续导数，L是上半平面（y＞0）内的有向分段光滑曲线，起点为（a，b），终点为（c，d）．记导数微分已知函数f(x)在[a,b]内有一阶连续导数,而且在（a,b)内具有二阶导数,请问f（x）的二阶导数是否一定连续设曲线y=f(x)在原点与X轴相切,函数f（x）具有连续的二阶导数,且x≠0时,f的一阶导数不等于0,证明该曲线在原点处设函数f(x)在[a,b]上连续,则由曲线y=f(x)与直线x=a,x=b,y=0所围平面图形的面积为（）函数的凹凸性定理：设y=f（x）在（a,b）内有连续的二阶导数,若点c属于（a,b）是函数y=f（x）的拐点,则f''（设函数u(x,y)具有二阶连续偏导数,L为自点(0,0)沿曲线y = sin x至点A(π ,0)的有向弧段,求曲线设Q（x,y）在xoy平面上有一阶连续偏导数,曲线积分∫L 2xydx+Q（x,y）与路径无关,对任意t恒有设f(x)在[0,1]上有连续一阶导数,在（0,1）内二阶可导. 设f(x)在[a,b]上连续,在（a,b）内的左导数处处存在且恒为零,证明f(x)为常值函数设函数f(x)在[a,b]上连续,在（a,b）内可导,且f(a)=f(b),则曲线y=f(x)在（a,b）内平行于x轴的微积分隐函数问题设z=z(x,y)是由方程F（x-z,y-z）=0所确定的隐函数,其中F有一阶连续偏导数,且F'1+F' 函数fx具有一阶连续导数,证明Fx=(1+|sinx|)f(x)在x=0处可导的充要条件是f（0）=0.