已知MN∥EF∥BC，点A、D为直线MN上的两动点，AD=a，BC=b．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/07/07 09:35:31

已知MN∥EF∥BC，点A、D为直线MN上的两动点，AD=a，BC=b．
（1）当点A、D重合，即a=0时（如图1），试求EF．（用含m，n，b的代数式表示）
（2）请直接应用（1）的结论解决下面问题：当A、D不重合，即a≠0，
①如图2这种情况时，试求EF．（用含a，b，m，n的代数式表示）

②如图3这种情况时，试猜想EF与a、b之间有何种数量关系？并证明你的猜想．

（1）∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴
EF
BC＝
AE
AB，（1分）
∵
AE
BE＝
m
n，
∴
AE
AB＝
m
m+n，（1分）
又BC=b，

∴
EF
b＝
m
m+n，
∴EF=
mb
m+n；（1分）
（2）①如图2，连接BD，与EF交于点H，
由（1）知，HF=
mb
m+n，EH=
na
m+n，（2分）
∵EF=EH+HF，
∴EF=
mb+na
m+n；（1分）

②猜想：EF=
mb−na
m+n，（1分）
证明：连接DE，并延长DE交BC于G，
由已知得：BG=
na
m，（1分
EF=
mGC
m+n，（1分）
∵GC=BC-BG，
∴EF=
m
m+n（BC-BG）=
m
m+n(b−
na
m)＝
mb−na
m+n．