泰勒公式小问题泰勒公式中用Pn(X)来近似f(x) 其中是不是这个意思,图中1式中画红线的式子 来近似2式中画红线的式子
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/28 14:45:22
泰勒公式小问题
泰勒公式中用Pn(X)来近似f(x) 其中是不是这个意思,图中1式中画红线的式子 来近似2式中画红线的式子吗
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泰勒公式中用Pn(X)来近似f(x) 其中是不是这个意思,图中1式中画红线的式子 来近似2式中画红线的式子吗
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不是的,你弄反了;
从Taylor多项式的系数考察:
a0=f(x0) 多项式pn(x)在 x0 点和函数f(x)的值相等;
a1=f'(x0) 多项式pn(x)在 x0 点和函数f(x)的一阶导数值相等;
a2=f''(x0)/2 多项式pn(x)在 x0 点和函数f(x)的二阶导数值相等;
...
ak=f(k)(x0)/k!多项式pn(x)在 x0 点和函数f(x)的k阶导数值相等;
...
Taylor多项式的本意是用和 f(x) 在xo点有【相同的各阶导数值】(0阶导数值即函数值)的相对简单的【多项式】来近似【复杂的函数 f(x)】.
但是近似的多项式和 f(x)总有误差,但是在 x0 附近,误差是 (x-x0)^n 的高阶无穷小【越接近,误差所占比例越小,近似程度越高】
如:
p1(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)≈f(x)
就是用在x0的切线(函数值相等,一阶导数相等)来近似曲线 f(x)
你的红线所标上方的高次多项式就是表达用此切线 p1(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0) 来代替 f(x)产生的误差,为(x-x0)的高阶无穷小.
如近似到二阶:
p2(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f''(x0)/2*(x-x0)^2≈f(x)
就是用在x0的抛物线线(与f(x)的函数值相等,一、二阶导数相等)来近似曲线 f(x),误差为 o(x-x0)^2【更高阶的无穷小】
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从Taylor多项式的系数考察:
a0=f(x0) 多项式pn(x)在 x0 点和函数f(x)的值相等;
a1=f'(x0) 多项式pn(x)在 x0 点和函数f(x)的一阶导数值相等;
a2=f''(x0)/2 多项式pn(x)在 x0 点和函数f(x)的二阶导数值相等;
...
ak=f(k)(x0)/k!多项式pn(x)在 x0 点和函数f(x)的k阶导数值相等;
...
Taylor多项式的本意是用和 f(x) 在xo点有【相同的各阶导数值】(0阶导数值即函数值)的相对简单的【多项式】来近似【复杂的函数 f(x)】.
但是近似的多项式和 f(x)总有误差,但是在 x0 附近,误差是 (x-x0)^n 的高阶无穷小【越接近,误差所占比例越小,近似程度越高】
如:
p1(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)≈f(x)
就是用在x0的切线(函数值相等,一阶导数相等)来近似曲线 f(x)
你的红线所标上方的高次多项式就是表达用此切线 p1(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0) 来代替 f(x)产生的误差,为(x-x0)的高阶无穷小.
如近似到二阶:
p2(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f''(x0)/2*(x-x0)^2≈f(x)
就是用在x0的抛物线线(与f(x)的函数值相等,一、二阶导数相等)来近似曲线 f(x),误差为 o(x-x0)^2【更高阶的无穷小】
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