已知双曲线的方程为16x^-9y^=144,焦点为F1F2,点m在双曲线上,且MF1的绝对值*MF2的绝对值=32,求角
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/14 18:58:39
已知双曲线的方程为16x^-9y^=144,焦点为F1F2,点m在双曲线上,且MF1的绝对值*MF2的绝对值=32,求角F1MF2的大小,求点M的坐标
由双曲线方程可求出其实轴长为2a=2*3=6,焦距为|F1F2|=2c=2*5=10(具体过程我不再多写了!)
在△MF1F2中,由余弦定理可得:
|MF1|^+|MF2|^-2|MF1|*|MF2|*cos∠F1MF2=|F1F2|=4c^=100 ①
由双曲线第一定义可知:M到焦点F1,F2的距离之差的绝对值应该等于其实轴长,可列出:
||MF1|-|MF2||=2a=6
两边同时平方脱去左侧整体的绝对值可得:
|MF1|^+|MF2|^-2|MF1|*|MF2|=36 ②
而已知有:
|MF1|*|MF2|=32 ③
于是,结合①,②,③式,可解得:
cos∠F1MF2=0
于是得出:
∠F1MF2=90°=π/2
由此可以判断出,Rt△F1MF2中,|OM|为斜边|F1F2|上的中线,由直角三角形斜边中线定理可得到:
|OM|=|F1F2|/2=5
设M点的坐标为(x,y),则根据|OM|=5可以列出:
x^+y^=5^ ④
而M点还在双曲线上,可代入双曲线方程得到:
16x^-9y^=144 ⑤
结合④,⑤式,可求出:
x=±3√41/5
y=±16/5
也就是说,M点的坐标对应有4个:
(3√41/5,16/5),(-3√41/5,16/5),(3√41/5,-16/5),(-3√41/5,-16/5)
在△MF1F2中,由余弦定理可得:
|MF1|^+|MF2|^-2|MF1|*|MF2|*cos∠F1MF2=|F1F2|=4c^=100 ①
由双曲线第一定义可知:M到焦点F1,F2的距离之差的绝对值应该等于其实轴长,可列出:
||MF1|-|MF2||=2a=6
两边同时平方脱去左侧整体的绝对值可得:
|MF1|^+|MF2|^-2|MF1|*|MF2|=36 ②
而已知有:
|MF1|*|MF2|=32 ③
于是,结合①,②,③式,可解得:
cos∠F1MF2=0
于是得出:
∠F1MF2=90°=π/2
由此可以判断出,Rt△F1MF2中,|OM|为斜边|F1F2|上的中线,由直角三角形斜边中线定理可得到:
|OM|=|F1F2|/2=5
设M点的坐标为(x,y),则根据|OM|=5可以列出:
x^+y^=5^ ④
而M点还在双曲线上,可代入双曲线方程得到:
16x^-9y^=144 ⑤
结合④,⑤式,可求出:
x=±3√41/5
y=±16/5
也就是说,M点的坐标对应有4个:
(3√41/5,16/5),(-3√41/5,16/5),(3√41/5,-16/5),(-3√41/5,-16/5)
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