多边形的三角剖分公式是怎样得出的?

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/11/08 15:11:33

多边形的三角剖分公式是怎样得出的?
20世纪初,数学家乌拉班发现并证明了下面的公式,(Dn表示凸n边形的三角剖分数).D(n+1)/Dn=4n-6/n.
请问这个公式是怎样得出的?

1.问题之假设
所得三角形必须以原凸N 边形之顶点为顶点.
2.问题之解决
(1).
首先,将一任意凸N 边形顶点依逆时针顺序标好A1,A2...An,
我们考虑边A1A2,它在任意一种分法中必与A3,...,An中某一
点构成三角形,不妨设为Ai,此时{A2,A3,...,Ai}和{Ai,Ai+1,
...,An,A1}构成一个凸i-1边形和凸N-i+2边形,这两个凸多边
形再各自独立的分割为三角形,分别是a(i-1)和a(N-i+2)种分
法,于是当A1,A2,Ai构成一个三角形时,有a(i-1)*a(N-i+2)
种分法,再令i=3,4,...,N遍历其余顶点,就得到我所说的递推
公式:
a(n)=a(2)*a(N-1)+a(3)*a(N-2)+...+a(N-1)*a(2)
其中a(2)=1,纯粹是为了形式整齐所引进的.
(2).
剩下的工作就是求解数列a(n),使其满足所得通项公式,为此,
我们构造无穷级数F(x)=a(2)x^2+a(3)x^3+...+a(n)x^n+...
考察W(x)=F(x)*F(x),显然,W(x)中对x^n合并同类项为
a(2)x^2*a(n-2)x^(n-2)+...+a(2)x^2*a(n-2)x^(n-2),
对照递推公式,此即为a(n-1)x^(n-1),于是有
W(x)=a(3)x^4+a(4)x^5+...+a(n-1)x^n+...
=x*[a(3)x^3+a(4)x^4+...+a(n)x^n+...]
=x*[F(x)-x^2]
即有F(x)*F(x)-x*F(x)+x^3=0,由二次方程求根公式可得：
F(x)=(x/2)*[1-(1-4x)^(1/2)]
对上式右边作泰勒展开,就得到a(n)通项公式,为
a(n)=2^(n-2)*1*3*...*(2n-5)/(n-1)!(n>2)

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