《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛试题

《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛试题
请把答案删掉再给我

一、选择题（共5小题,每小题7分,共35分. 以下每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分）
1．已知非零实数a,b 满足,则等于（ ）．
（A）－1 （B）0 （C）1 （D）2
【答】C．
由题设知a≥3,所以,题设的等式为 ,于是 ,从而 ＝1．
2．如图,菱形ABCD的边长为a,点O是对角线AC上的一点,且OA＝a,OB＝OC＝OD＝1,则a等于（ ）．
（第2题）

（A） （B） （C）1 （D）2
【答】A．
因为△BOC ∽ △ABC,所以,即
,
所以, ．
由 ,解得 ．
3．将一枚六个面编号分别为1,2,3,4,5,6的质地均匀的正方体骰子先
后投掷两次,记第一次掷出的点数为 ,第二次掷出的点数为 ,则使关于x,y的方程组 只有正数解的概率为（ ）．
（A） （B） （C） （D）
【答】D．
当 时,方程组无解．
当 时,方程组的解为
由已知,得 即 或
由 , 的实际意义为1,2,3,4,5,6,可得
共有 5×2＝10种情况；或 共3种情况．
又掷两次骰子出现的基本事件共6×6＝36种情况,故所求的概率为 ．
4．如图1所示,在直角梯形ABCD中,AB‖DC, . 动点P从点
B出发,沿梯形的边由B→C→D→A运动. 设点P运动的路程为x,△ABP的面积为y. 把y看作x的函数,函数的图像如图2所示,则△ABC的面积为（ ）．
（A）10 （B）16 （C）18 （D）32
（第4题）

图2

图1

【答】B．
根据图像可得BC＝4,CD＝5,DA＝5,进而求得AB＝8,故
S△ABC＝ ×8×4＝16.
5．关于x,y的方程的整数解（x,y）的组数为（ ）．
（A）2组 （B）3组 （C）4组 （D）无穷多组
【答】C．
可将原方程视为关于 的二次方程,将其变形为
．
由于该方程有整数根,则判别式 ≥ ,且是完全平方数．
由 ≥ ,
解得 ≤ ．于是
0
1
4
9
16

116
109
88
53
4

显然,只有 时, 是完全平方数,符合要求．
当 时,原方程为 ,此时 ；
当y＝－4时,原方程为 ,此时 ．
所以,原方程的整数解为
二、填空题（共5小题,每小题7分,共35分）
6．一个自行车轮胎,若把它安装在前轮,则自行车行驶5000 km后报废；若把它安装在后轮,则自行车行驶 3000 km后报废,行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎,要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废,那么这辆车将能行驶 km ．
【答】3750．
设每个新轮胎报废时的总磨损量为k,则安装在前轮的轮胎每行驶1 km
磨损量为 ,安装在后轮的轮胎每行驶1km的磨损量为 .又设一对新轮胎交换位置前走了x km,交换位置后走了y km.分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有
两式相加,得 ,
则 ．
7．已知线段AB的中点为C,以点A为圆心,AB的长为半径作圆,在线段AB的延长线上取点D,使得BD＝AC；再以点D为圆心,DA的长为半径作圆,与⊙A分别相交于F,G两点,连接FG交AB于点H,则的值为 ．
如图,延长AD与⊙D交于点E,连接AF,EF ．
由题设知 , ,在△FHA和△EFA中,
,
所以 Rt△FHA∽Rt△EFA,
.
（第7题）

而 ,所以 .
8．已知 是满足条件 的五个不同的整数,若 是关于x的方程的整数根,则的值为 ．
【答】 10．
因为 ,且 是五个不同的整数,所有 也是五个不同的整数．
又因为 ,所以
．
由 ,可得 ．
9．如图,在△ABC中,CD是高,CE为的平分线．若AC＝15,BC＝20,CD＝12,则CE的长等于 ．
【答】 ．
如图,由勾股定理知AD＝9,BD＝16,所以AB＝AD＋BD＝25 ．
故由勾股定理逆定理知△ACB为直角三角形,且 ．
作EF⊥BC,垂足为F．设EF＝x,由,得CF＝x,于是BF＝20－x．由于EF‖AC,所以
,
（第9题）

即 ,
解得 ．所以 ．
（第10题）

10．10个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规则是：每个人心里都想好一个数,并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人,然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来．若报出来的数如图所示,则报3的人心里想的数是 ．
【答】 ．
设报3的人心里想的数是 ,则报5的人心里想的数应是 ．
于是报7的人心里想的数是 ,报9的人心里想的数是 ,报1的人心里想的数是 ,报3的人心里想的数是 ．所以
,
解得 ．
三、解答题（共4题,每题20分,共80分）
11．已知抛物线 与动直线 有公共点 , ,
且 .
（1）求实数t的取值范围；
（2）当t为何值时,c取到最小值,并求出c的最小值.
（1）联立 与 ,消去y得二次方程
①
有实数根 , ,则 ．所以
= ＝ ． ②
………………5分
把②式代入方程①得
． ③
………………10分
t的取值应满足
≥0, ④
且使方程③有实数根,即
＝ ≥0, ⑤
解不等式④得 ≤-3或 ≥1,解不等式⑤得 ≤ ≤ .
所以,t的取值范围为
≤ ≤ . ⑥
………………15分
(2) 由②式知 .
由于 在 ≤ ≤ 时是递增的,所以,当
时, . ………………20分
12．已知正整数 满足 ,且 ,求满足条件的所有可能的正整数 的和．
由 可得 ． ,且
．
………………5分
因为 是奇数,所以 等价于 ,又因为 ,所以 等价于 ．因此有 ,于是可得 ．
………………15分
又 ,所以 ．因此,满足条件的所有可能的正整数 的和为
11＋192（1＋2＋…＋10）＝10571． ………………20分
13．如图,给定锐角三角形ABC,AD,BE是它的两条高,过点作△ABC的外接圆的切线,过点D,E分别作的垂线,垂足分别为F,G．试比较线段DF和EG的大小,并证明你的结论．
解法1：结论是．下面给出证明． ………………5分
因为 ,所以Rt△FCD ∽ Rt△EAB．于是可得
．
同理可得 ．
（第13A题）

………………10分
又因为 ,所以有 ,于是可得
． ………………20分
解法2：结论是．下面给出证明．
……………… 5分
（第13A题）

连接DE,因为 ,所以A,B,D,E四点共圆,故
． ………………10分
又l是⊙O的过点C的切线,所以． ………………15分
所以, ,于是DE‖FG,故DF＝EG．
………………20分
14．n个正整数 满足如下条件： ；
且 中任意n－1个不同的数的算术平均数都是正整数．求n的最大值．
设 中去掉 后剩下的n－1个数的算术平均数为正整数 , ．即 ．
于是,对于任意的1≤ ≤n,都有
,
从而 ． ………………5分
由于 是正整数,故
． ………………10分
由于
≥ ,
所以, ≤2008,于是n ≤45.
结合,所以,n ≤9． ………………15分
另一方面,令 ,…, ,
,则这9个数满足题设要求．
综上所述,n的最大值为9. ………………20分