证明二元函数不可微设f(x,y)=xy/√x^2+y^2,(x,y)≠(0,0)0,(x,y)=(0,0)证明f(x,y
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/24 03:18:40
证明二元函数不可微
设f(x,y)=xy/√x^2+y^2,(x,y)≠(0,0)
0,(x,y)=(0,0)
证明f(x,y)在点(0,0)不可微.
设f(x,y)=xy/√x^2+y^2,(x,y)≠(0,0)
0,(x,y)=(0,0)
证明f(x,y)在点(0,0)不可微.
先求偏导数:
fx
=lim(△x→0) [f(0+△x,0)-f(0,0)] / △x
=0
fy
=lim(△y→0) [f(0,0+△y)-f(0,0)] / △y
=0
再求全增量
△f
=f(0+△x,0+△y)-f(0,0)
=△x△y / √(△x^2+△y^2)
反证法,假设f在(0,0)可微,那么必有:
△f=0△x+0△y+0△x+[△x / √(△x^2+△y^2)]△y
但是,
lim[(△x,△y)→(0,0)] △x / √(△x^2+△y^2)并不等于零(△x=△y即得出极限为1/2)
这与可微是矛盾的
因此,f在(0,0)处是不可微的
有不懂欢迎追问
再问: 这是什么意思?有点看不懂,能详细点么? △f=0△x+0△y+0△x+[△x / √(△x^2+△y^2)]△y
fx
=lim(△x→0) [f(0+△x,0)-f(0,0)] / △x
=0
fy
=lim(△y→0) [f(0,0+△y)-f(0,0)] / △y
=0
再求全增量
△f
=f(0+△x,0+△y)-f(0,0)
=△x△y / √(△x^2+△y^2)
反证法,假设f在(0,0)可微,那么必有:
△f=0△x+0△y+0△x+[△x / √(△x^2+△y^2)]△y
但是,
lim[(△x,△y)→(0,0)] △x / √(△x^2+△y^2)并不等于零(△x=△y即得出极限为1/2)
这与可微是矛盾的
因此,f在(0,0)处是不可微的
有不懂欢迎追问
再问: 这是什么意思?有点看不懂,能详细点么? △f=0△x+0△y+0△x+[△x / √(△x^2+△y^2)]△y
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