设f（x）具有二阶连续函数，f（0）=0，f′（0）=1，且[xy（x+y）-f（x）y]dx+[f′（x）+x2y]d

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/07/05 08:04:45

设f（x）具有二阶连续函数，f（0）=0，f′（0）=1，且[xy（x+y）-f（x）y]dx+[f′（x）+x²y]dy=0为一全微分方程，求f（x）及此全微分方程的通解．

因为 Pdx+Q dy=0 是全微分方程的一个必要条件是：
∂P
∂y=
∂Q
∂x，
所以
x²+2xy-f（x）=f″（x）+2xy，
即：
f″（x）+f（x）=x²．（1）
因为齐次微分方程 f″（x）-f（x）=0 的特征方程为 λ²+1=0，
特征根为 λ_1，2=±i，
所以 f″（x）-f（x）=0 的通解为 f₁（x）=C₁cosx+C₂sinx．
因为非齐次项为 x²，且 λ=0 不是特征方程的根，
故设方程（1）的一个特解为 y*=Ax²+Bx+C．
代入（1）可得，A=1，B=0，C=-2，
所以 y*=x²-2．
故方程（1）的通解为 f（x）=C₁cosx+C₂sinx-x²-2．
因为 f（0）=0，f′（0）=1，解得 C₁=2，C₂=1．
所以 f（x）=2cosx+sinx+x²-2．
故要求解的方程为
0=[xy（x+y）-f（x）y]dx+[f′（x）+x²y]dy
=[（2cosx+sinx）y+xy²+2y]dx+[-2sinx+cosx-2x+x²y]dy
=[（2cosx+sinx）y dx+（-2sinx+cosx）dy]+（xy²dx+x²ydy）-2（ydx+xdy）
=d[（cosx-2sinx）y]+
1
2d（x²y²）-d（xy）
=d((cosx−2sinx)y+
1
2x2y2+2xy)．
所以（cosx-2sinx）y+
1
2x²y²+2xy=C．
故 f（x）=2cosx+sinx+x²-2，
所求通解为　
（cosx-2sinx）y+
1
2x²y²+2xy=C．

设f（x）具有二阶连续函数，f（0）=0，f′（0）=1，且[xy（x+y）-f（x）y]dx+[f′（x）+x2y]d f(x)具有二阶连续导数,f(0)=1,f'(0)=-1,且[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f'(x)+x^2y] 设f(x)为连续函数,且满足f(x)=3x^2-x∫（1,0）f(x)dx求f(x) 设f(x)具有二阶连续导数,f(0)=f'(0)=0,且使得[xy(1+y)+f'(x)y]dx+[f'(x)+x^2y 设函数f（x）满足f(0)=1,且对任意x,y属于R,都有f(xy+1)=f(x)乘f(y)减f(y)减x加2.求f(x 设函数f（x）具有二阶导数，并满足f（x）=-f（-x），且f（x）=f（x+1）.若f′（1）＞0，则（　　）设函数f(x)在定义域（0,+∞）上为减函数,且f(xy)=f(x)+f(y).f（1/3）=1 求解一题高数题!设f(x)是连续函数,且f(x)=x+2ʃ(1到0）f(t)dt,则f(x)=( )A(x^2 设函数F(X)具有二阶连续导数,且满足F(X)=[微分（上限X下限0）F(1-t)dt]+1,求F(X) 设函数f(x)满足f（0）=1,且对任意X,Y属于R都有F(xy+1)=f(x)*f(y)-f(y)-x+2 求(FX) f(x) 在定义域（0,正无穷）上是增函数,满足f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y).求不等式f(x)+f(x- 已知函数f(x)的定义域是（0,正无穷）,当x>1时,f(x)>0,且f(xy)=f(x)+f(y).