二阶导函数连续可推出三阶可导吗?
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/19 02:28:51
二阶导函数连续可推出三阶可导吗?
我是从一道题中想到的这个问题,
设函数f(x)满足关系式f''(x)+[f'(x)]^2=x,且f'(0)=0,则:点(0,f(0))是曲线y=f(x)的拐点
给出的解题步骤是:
f''(0)=0,f''(x)可导,f'''(x)=1-2f'(x)f''(x),f'''(0)=1>0
【我的疑问】:题目中没有说3阶可导,为什么解题里直接可以求3阶导数呢?是因为已知给出的是f''(x)的关系式(关于x,而不是某一个x0点),所以表明2阶导函数连续?继而由2阶导函数连续可推出3阶可导吗?
我是从一道题中想到的这个问题,
设函数f(x)满足关系式f''(x)+[f'(x)]^2=x,且f'(0)=0,则:点(0,f(0))是曲线y=f(x)的拐点
给出的解题步骤是:
f''(0)=0,f''(x)可导,f'''(x)=1-2f'(x)f''(x),f'''(0)=1>0
【我的疑问】:题目中没有说3阶可导,为什么解题里直接可以求3阶导数呢?是因为已知给出的是f''(x)的关系式(关于x,而不是某一个x0点),所以表明2阶导函数连续?继而由2阶导函数连续可推出3阶可导吗?
f''(x)= x- [f'(x)]^2 注意这个式子 可以看出式子右边是可导的(因为2阶可导) 所以才有f''(x)可导 所以三阶可导
再问: 非常感谢,我好像明白了。还请问从“函数f(x)满足关系式f''(x)+[f'(x)]^2=x”这句话中,能够得出f(x)二阶导函数连续吗?还是只能说明二阶可导啊?
再答: 由f''(x)可导 就可以得出f''(x)连续 因为可导函数必定连续 顺便说一下为什么x- [f'(x)]^2可导,因为x可导,f'(x)可导(题目已经写出f''(x)),而 a-b^2是一种基本初等组合,所以那两个函数这样组合出来的函数也是可导的。
再问: 非常谢谢,那么f'''(x)=1-2f'(x)f''(x) 中2f'(x)f''(x)还算不算基本初等组合呢?如果算的话,是不是也就可得4阶可导:f(x)的4阶导数=-2f''(x)f''(x)-2f'(x)f'''(x),这样的话也能得到5阶可导,以此类推,可以依次求导下去呢?
再答: 不是这样的,这种方法 是基于你求出结果之后,你的结果在定义域上的每一点都有意义。例如该题f''(x)求导后,f'''(x)=1-2f'(x)f''(x) ,中f''(x)和f'(x)对于每一个X是可以写出结果的,因此可以求出f'''(x)。 而有些函数例如f(X)=x^(4/3) 它的X=0处一阶可导,二阶不可导,原因在于二阶导时有f''(x)为正无穷。 而本题中很明显可以算出f'''(0)=1 所以可以说它在X=0处可导。 总的来说如果函数在整个定义域内可导,它们的基本初等组合不一定在每一点可导, 导函数是可以写出来的,但是不能保证导函数在原函数定义域的每一点上都有定义了。。。
再问: 非常感谢,我好像明白了。还请问从“函数f(x)满足关系式f''(x)+[f'(x)]^2=x”这句话中,能够得出f(x)二阶导函数连续吗?还是只能说明二阶可导啊?
再答: 由f''(x)可导 就可以得出f''(x)连续 因为可导函数必定连续 顺便说一下为什么x- [f'(x)]^2可导,因为x可导,f'(x)可导(题目已经写出f''(x)),而 a-b^2是一种基本初等组合,所以那两个函数这样组合出来的函数也是可导的。
再问: 非常谢谢,那么f'''(x)=1-2f'(x)f''(x) 中2f'(x)f''(x)还算不算基本初等组合呢?如果算的话,是不是也就可得4阶可导:f(x)的4阶导数=-2f''(x)f''(x)-2f'(x)f'''(x),这样的话也能得到5阶可导,以此类推,可以依次求导下去呢?
再答: 不是这样的,这种方法 是基于你求出结果之后,你的结果在定义域上的每一点都有意义。例如该题f''(x)求导后,f'''(x)=1-2f'(x)f''(x) ,中f''(x)和f'(x)对于每一个X是可以写出结果的,因此可以求出f'''(x)。 而有些函数例如f(X)=x^(4/3) 它的X=0处一阶可导,二阶不可导,原因在于二阶导时有f''(x)为正无穷。 而本题中很明显可以算出f'''(0)=1 所以可以说它在X=0处可导。 总的来说如果函数在整个定义域内可导,它们的基本初等组合不一定在每一点可导, 导函数是可以写出来的,但是不能保证导函数在原函数定义域的每一点上都有定义了。。。
二阶导函数连续可推出三阶可导吗?
高数,多元函数,可导为何不能推出连续
多元函数可微为什么不能推出偏导数存在且连续
函数在某点存在二阶导数,那么该点一阶导函数可导且连续,推出原函数在该点可导.这个结论正确吗?
为什么极限值等于函数值可以推出函数连续
高数可导的问题当函数在一个区间可导,可以推出函数在区间连续,那当一个函数在点x1存在导数,那么是否可以推出函数的导数在点
多元函数连续能推出偏导数存在吗?
函数连续,偏导数存在,能推出可微吗?
函数连续、可导、可微、可积的条件
函数在闭区间上可积能说明什么?高数上册226页定理1说的是在闭区间上连续可以推出可积,那么在闭区间上可
连续的可积函数一定可导吗
函数可导与连续的关系