作业帮一个关于矩阵迹的问题A、B均为n阶方阵,证明AB的迹等于BA的迹
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/08 23:41:31
一个关于矩阵迹的问题
A、B均为n阶方阵,证明AB的迹等于BA的迹
A、B均为n阶方阵,证明AB的迹等于BA的迹
证法一：
考察矩阵
μI A
B μI
用第一行消第二行的B可以算出行列式,用第二行消第一行的A也能算出行列式,这两个行列式相等.
令λ=μ^2,代入即得AB和BA的特征多项式相等,于是tr(AB)=tr(BA).
证法二：
若B非奇异,则利用相似变换得tr(AB)=tr(B*AB*B^{-1})=tr(BA).
若B奇异,|t|充分小时tr(A*(B+tI))=tr((B+tI)*A),由tr的连续性,令t->0即得.
注：证法一可推广到长方的矩阵,证法二则不行.
考察矩阵
μI A
B μI
用第一行消第二行的B可以算出行列式,用第二行消第一行的A也能算出行列式,这两个行列式相等.
令λ=μ^2,代入即得AB和BA的特征多项式相等,于是tr(AB)=tr(BA).
证法二：
若B非奇异,则利用相似变换得tr(AB)=tr(B*AB*B^{-1})=tr(BA).
若B奇异,|t|充分小时tr(A*(B+tI))=tr((B+tI)*A),由tr的连续性,令t->0即得.
注：证法一可推广到长方的矩阵,证法二则不行.
一个关于矩阵迹的问题A、B均为n阶方阵,证明AB的迹等于BA的迹
设A,B均为n阶方阵,E为单位矩阵,证明：若E-AB可逆,则E-BA也可逆,并求E-BA的逆
线性代数的问题已知A和B都为n阶矩阵.证明：1,AB的迹和BA的迹相等.2,若A或B可逆,求证AB和BA相似.3,A和B
设A,B均为n阶可逆方阵,怎么证明AB的行列式与BA的行列式相等?
已知n阶方阵A和B,A的秩等于n,证明：AB与BA相似
设n阶方阵A,B的乘积AB为可逆矩阵,证明A,B都是可逆矩阵
如果A,B是可逆矩阵,证明n阶方阵A,B的乘积AB也为可逆矩阵.
设A,B均为n阶方阵,试证明(A+B)^2=A^2+B^2+2AB的充要条件为AB=BA.
设n阶方阵A与B中有一个是非奇异的,求证矩阵AB相似于BA
a,b均为n阶方阵,b为幂零矩阵a可逆矩阵,且ab可交换,证明a与a+b有相同的特征多项式
设A,B为两个n阶正定矩阵,证明:AB为正定矩阵的充要条件是AB=BA.
A,B为n阶方阵,A的行列式不为零,证明AB与BA相似