为何任意一个函数都可以写成一个奇函数和一个偶函数之和?

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/07/17 02:21:47

对任何一个函数f(x),都可以写成f(x)=g(x)+h(x)
其中g(x)是奇函数,h(x)是偶函数
为了证明这一点,我们并不是从一个奇函数和一个偶函数的和如何构成任意函数
而是通过证明任意函数都能分解成g(x)+h(x)来得证得.
正规的证明如下:
证明:
先假设f(x) = g(x) + h(x)是存在的,设为1式
则f(-x) = g(-x) + h(-x),设为2式
奇函数性质:g(x)=-g(-x)
偶函数性质:h(x)=h(-x)
那么分别拿1式+2式,1式-2式得到:
f(x)+f(-x)=2h(x)
f(x)-f(-x)=2g(x)
由此我们得出结论,对任意的f(x),我们能够构造这么两个函数
g(x)=[f(x)-f(-x)]/2 是奇函数
h(x)=[f(x)+f(-x)]/2 是偶函数
且g(x)+h(x)=f(x)
证毕.
通过这个证明还能够得到如何分解成奇函数和偶函数的方法

为何任意一个函数都可以写成一个奇函数和一个偶函数之和? 证明任意一个函数都可以是奇函数和偶函数之和证明：定义在R上的任意函数f(x)都可以表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和. 为什么任意一个定义域关于原点对称的函数都可以用一个奇函数和一个偶函数的和表示证明定义在R上的任意函数都可以表示成一个奇函数和一个偶函数的和. 证明任意函数能写成奇函数和偶函数之和如何证明任一函数可以唯一的写成一个奇函数和一个偶函数的和求证:定义域关于原点对称的函数可以写成一个奇函数与一个偶函数的和为什么以对称区间为定义域的任意函数可以表示成一个偶函数与一个奇函数之和任意一个定义域关于原点对称的函数均可写成一个奇函数与一个偶函数之和,那么我理解成：它们两个函数之和是非奇函数与非偶函数吗任何一个定义域关于原点对称的函数,都可以写成一个偶函数加一个奇函数的形式. 证明定义在闭区间[-a,a]上的任意函数f(x)总可以表示为一个奇函数和一个偶函数之和