设区域D={(x,y)|x²+y²≤1,x≥0},计算二重积分I=∫∫(1+xy)/(1+x
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/14 07:21:16
设区域D={(x,y)|x²+y²≤1,x≥0},计算二重积分I=∫∫(1+xy)/(1+x²+y²)dxdy
原式=∫(-π/2,π/2)dθ∫(0,1)[(1+r²sinθcosθ)/(1+r²)]rdr (极坐标变换)
=1/2∫(-π/2,π/2)dθ∫(0,1)[(1+rsinθcosθ)/(1+r)]dr (用r代换r²)
=1/2∫(-π/2,π/2)dθ∫(0,1){1/(1+r)+[1-1/(1+r)]sinθcosθ}dr
=1/2∫(-π/2,π/2){[ln(1+r)+(r-ln(1+r))sinθcosθ]│(0,1)}dθ
=1/2∫(-π/2,π/2)[ln2+(1-ln2)sinθcosθ]dθ
=1/2∫(-π/2,π/2)[ln2+(1-ln2)sin(2θ)/2]dθ
=1/2[θln2-(1-ln2)cos(2θ)/4]│(-π/2,π/2)
=1/2[(π/2)ln2-(1-ln2)cos(π)/4-(-π/2)ln2+(1-ln2)cos(-π)/4]
=(πln2)/2.
=1/2∫(-π/2,π/2)dθ∫(0,1)[(1+rsinθcosθ)/(1+r)]dr (用r代换r²)
=1/2∫(-π/2,π/2)dθ∫(0,1){1/(1+r)+[1-1/(1+r)]sinθcosθ}dr
=1/2∫(-π/2,π/2){[ln(1+r)+(r-ln(1+r))sinθcosθ]│(0,1)}dθ
=1/2∫(-π/2,π/2)[ln2+(1-ln2)sinθcosθ]dθ
=1/2∫(-π/2,π/2)[ln2+(1-ln2)sin(2θ)/2]dθ
=1/2[θln2-(1-ln2)cos(2θ)/4]│(-π/2,π/2)
=1/2[(π/2)ln2-(1-ln2)cos(π)/4-(-π/2)ln2+(1-ln2)cos(-π)/4]
=(πln2)/2.
设区域D={(x,y)|x²+y²≤1,x≥0},计算二重积分I=∫∫(1+xy)/(1+x
计算二重积分I=∫∫ x/(x²+y²)dxdy,其中D为区域x²+y²≤1,x
计算二重积分∫∫|y-x^2|dxdy,其中区域D={(x,y)|-1
计算二重积分∫∫√(Y平方减去XY)dxdy,D是由Y=X Y=1 X=0围成的平面区域
∫∫(x^2+y)dxdy,其中D为直线y=x,x=2和双曲线xy=1所围成的区域, 计算二重积分.
二重积分问题 (1)计算∫∫根号下(y^2-xy) dxdy,区域D={y=x,x=0,y=1} (2)区域D={(X,
计算二重积分∫∫(D)3xy^2dxdy,其中D由直线y=x,x=1及x轴所围成区域
计算二重积分I=∫∫xye^(-x^2-y^2)dxdy,其中D为 x^2+y^2≤1在第一象限的区域
计算二重积分∫∫ln(x^2+y^2)dxdy,其中积分区域D={(x,y)/1
设D是由y=x,x+y=1及x=0所围成的区域,求二重积分 ∫∫dxdy
计算二重积分∫∫D arctan﹙y/x﹚dxdy,D是1≤x²﹢y²≤4,y≥0,y≤x围成的区域
二重积分 交换次序计算二重积分I=∫∫根号(y-x^2)dxdy 其中积分区域D是由0≤y≤2 绝对值X≤1