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已知向量a=(cosθ,sinθ),b=(√3,-1)θ∈[0,π].若│2a-b│﹤m恒成立,求实数m的范围

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/05 12:49:50
已知向量a=(cosθ,sinθ),b=(√3,-1)θ∈[0,π].若│2a-b│﹤m恒成立,求实数m的范围
向量(2a-b)
=2(cosθ,sinθ)-(√3,-1)
=(2cosθ-√3,2sinθ+1)
则(2a-b)²
=(2cosθ-√3)²+(2sinθ+1)²
=4cos²θ-4√3cosθ+3+4sin²θ+4sinθ+1
=4sinθ-4√3cosθ+8
=8(1/2*sinθ-√3/2*cosθ)+8
=8sin(θ-π/3)+8
∵θ∈[0,π]
∴θ-π/3∈[-π/3,2π/3]
即sin(θ-π/3)∈(-√3/2,1]
∴当sin(θ-π/3)=1时,(2a-b)²取得最大值16
即|2a-b|的最大值为4
又∵要使│2a-b│﹤m恒成立,必须是的m大于|2a-b|的最大值
即m∈[4,+∞)