一道高中竞赛几何题雅可比定理ABCD共圆O,AC,BD交于G,AB,CD交于E,AD,BC交于F,M是完全四边形ABCD
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/06 03:54:21
一道高中竞赛几何题雅可比定理ABCD共圆O,AC,BD交于G,AB,CD交于E,AD,BC交于F,M是完全四边形ABCD密克点,ABCD共圆O,AC,BD交于G,AB,CD交于E,AD,BC交于F,M是完全四边形ABCD密克点,为什么GM垂直于EF?
先来说明几个相关的结论:
1.四边形ABCD的密克点在EF上
(∠EMC+∠FMC=∠CBA+∠CDA=180°)
2.EF²=点E关于圆O的幂+点F关于圆O的幂,即EF²=(EO²-r²)+(FO²-r²)
(EF²=EF×(EM+FM)=EM×EF+FM×FE=EC×ED+FC×FB)
3.EG²=点E关于圆O的幂+点G关于圆O的幂,即EG²=(EO²-r²)+(GO²-r²)
(延长EG至点K,使得EG×GK=AG×GC①
则E,C,K,A四点共圆
则∠EKC=∠EAC=∠BDC
从而C,D,K,G四点共圆
EG×EK=EC×ED②
②减①得EG²=EC×ED-AG×GC)
下面证明GM⊥EF
只要证明EG²-FG²=EM²-FM²
而EG²-FG²=(点E关于圆O的幂+点G关于圆O的幂)-(点F关于圆O的幂+点G关于圆O的幂)=点E关于圆O的幂-点F关于圆O的幂
EM²-FM²=(EM×EF/EF)²-(FM×FE/FE)²=(EC×ED/EF)²-(FC×FB/EF)²=1/EF²(点E关于圆O的幂²-点F关于圆O的幂²)=1/EF²(点E关于圆O的幂+点F关于圆O的幂)×(点E关于圆O的幂-点F关于圆O的幂)=点E关于圆O的幂-点F关于圆O的幂
即EG²-FG²=点E关于圆O的幂-点F关于圆O的幂=EM²-FM²
得证
1.四边形ABCD的密克点在EF上
(∠EMC+∠FMC=∠CBA+∠CDA=180°)
2.EF²=点E关于圆O的幂+点F关于圆O的幂,即EF²=(EO²-r²)+(FO²-r²)
(EF²=EF×(EM+FM)=EM×EF+FM×FE=EC×ED+FC×FB)
3.EG²=点E关于圆O的幂+点G关于圆O的幂,即EG²=(EO²-r²)+(GO²-r²)
(延长EG至点K,使得EG×GK=AG×GC①
则E,C,K,A四点共圆
则∠EKC=∠EAC=∠BDC
从而C,D,K,G四点共圆
EG×EK=EC×ED②
②减①得EG²=EC×ED-AG×GC)
下面证明GM⊥EF
只要证明EG²-FG²=EM²-FM²
而EG²-FG²=(点E关于圆O的幂+点G关于圆O的幂)-(点F关于圆O的幂+点G关于圆O的幂)=点E关于圆O的幂-点F关于圆O的幂
EM²-FM²=(EM×EF/EF)²-(FM×FE/FE)²=(EC×ED/EF)²-(FC×FB/EF)²=1/EF²(点E关于圆O的幂²-点F关于圆O的幂²)=1/EF²(点E关于圆O的幂+点F关于圆O的幂)×(点E关于圆O的幂-点F关于圆O的幂)=点E关于圆O的幂-点F关于圆O的幂
即EG²-FG²=点E关于圆O的幂-点F关于圆O的幂=EM²-FM²
得证
一道高中竞赛几何题雅可比定理ABCD共圆O,AC,BD交于G,AB,CD交于E,AD,BC交于F,M是完全四边形ABCD
如图,四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,过点O作EG//BC交AB于E,交CD于F,交AD的延长线于G
四边形ABCD中AB、CD交与E,AC=BD,M、N分别是AD、BC中点MN交AC、BD于点F、G,求证:EF=EG
空间四边形ABCD,平行于AD与BC的截面分别交AB,AC,CD,BD于E、F、G、H.求证:四边形EFGH为平行四边形
如图.四边形ABCD中,AB,CD交于E,且AC=BD,M,N分别为AD,BC的中点,MN交AC,BD于F,G,求证:E
四边形ABCD中,AC,BD相交于O点,过O做EF平行于AB交AD,BC于E,F交DC的延长线于G求证:OG的平方=GE
已知圆内接四边形ABCD,AB,CD的中点分别是P,Q,延长AD,BC交于M,AC,BD交于N,求证:PQ平行于MN
如图,▱ABCD的对角线AC、BD交于O,EF过点O交AD于E,交BC于F,G是OA的中点,H是OC的中点,四边形EGF
在四边形ABCD中,两对角线AC.BD交于O点,M.N分别是AB.CD的中点,MN交AC于点E,交BD于F,求证:OE/
四边形ABCD是平行四边形,对角线AC BD 交于点O,过点O任作一条直线交BC于点M,交AD于点N,并分别与AB CD
如图,在四边形ABCD中,AB=DC,对角线AC,BD交于点O,ac垂直于BD,E,F,G,H,分别是AB,BC,CD,
四边形ABCD内接于圆o,AB,CD延长线交于点E,角AED的角平分线分别交BC,AD于点F