用数学归纳法证明数列成立

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/11/08 14:44:46

用数学归纳法证明数列成立
已知数列{An}满足：A1=2,An+1=An^2-An+1(n属于N*)
用数学归纳法证明:对任意(n属于N*),都有An+1=AnAn-1...A1+1.
请大家帮个忙,

证明：
当n=2时,A2＝A1²-A1+1=2²-2+1=3
A2=A1+1=3.所以有A2＝A1＋1成立.

假设当n=k时,等式成立,即有
A(k+1)=Ak*A(k-1)*A(k-2)*...*A1+1 成立
那么当n=k+1时
A(k+2)=A²(k+1)-A(k+1)+1
=A(k+1)(A(k+1)-1)+1
因为A(k+1)-1=Ak*A(k-1)*A(k-2)*...*A1.代入上式得

A(k+2)=A(k+1)*Ak*A(k-1)*A(k-2)*...*A1+1
满足 A(n+1)=AnA(n-1)...A1+1.成立.
所以等式得证.

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