麻烦老师细致解答，主要是后两问不会，希望老师能够把思路及过程详写一下！谢谢老师！老师国庆辛苦了！

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解题思路： 第（1）问利用抛物线的顶点式求出抛物线的解析式。第（2）问利用直线与抛物线只有一个公共点求出P点是到直线AG的距离最大的点。并用面积的割补法求坐标系内三角形的面积。第（3）问利用直线平行和点对称点知识求出抛物线上到直线AG的距离等于抛物线的顶点到AG的距离一半的点。整个问题都用到了待定系数法。
解题过程：
解：(1)因为抛物线的对称轴为直线x=1,
所以 设抛物线的解析式为：y=a(x-1)^2+k,
因为 B(3,0)，OB=OC，且C点在y轴的负半轴上，所以C(0,-3),
因为抛物线过B、C两点，所以这两点的坐标适合抛物线的解析式，代入
a(3-1)^2+k=0,a+k=-3,解得：a=1,k=-4,
所以抛物线的解析式为y=(x-1)^-4.
(2)由抛物线的解析式知：其顶点D（1，-4），A(-1,0),
因为点G(2,y)在抛物线上，所以G点的坐标适合解析式，代入得
y=(2-1）^2-4=-3,所以G(2,-3).
要求三角形APG的面积最大时的抛物线上的动点P，就是在直线AG下方的与AG平行的直线与抛物线只有唯一一个公共点时，该公共点就是所求的P点。
所以下面求直线AG的解析式。
设直线AG的解析式为y=bx+c,把A(-1,0)和G(2,-3)代入，
-b+c=0,2b+c=-3,解得b=-1,c=-1,所以直线AG的解析式为：y=-x-1.
设过P点与直线AG平行的直线的解析式为：y=-x+d,
方程组y=-x+d,y=(x-1)^2-4,有唯一解。（x-1)^2-4=-x+d,x^2-x-3-d=0.根的 判别式：(-1)^2-4(-3-d)=0,所以d=-13/4.
此时，x^2-x-3+13/4=0,即 x^2-x-1/4=0,所以x=1/2,代入y=(x-1)^2-4,得y=-15/4,所以P(1/2,-15/4).
下面求三角形APG的面积。
过P、G作x轴的垂线，垂足分别为M、N。三角形 APG的面积=梯形NGPM的面积+三角形AMP的面积-三角形ANG的面积。
线段PM的长等于P点纵坐标的绝对值，PM=15/4。同理NG=3.MN长度等于N点横坐标减去M点横坐标，所以MN=3/2.MA=3/2.
即：（3+15/4）×3/2×1/2+1/2×3/2×15/4-1/2×3×3=27/8.为所求的三角形APG的面积。
（3）存在点Q，是题中的结论成立。
理由：同（2）中的方法求出三角形ADG的面积=（3+4）×1×1/2+1/2×2×4-1/2×3×3=3.
先求过P点与直线AG平行的直线解析式。设该解析式为：y=-x+e,把P(1,-4)代入，得e=-3.所以该解析式为y=-x-3
它与y轴交于点（0，-3），而直线AG与y轴的交点可求出是（0，-1），
所以这两个点的中点（0，-2），过该点与AG平行的直线为y=-x-2,该直线与抛物线的交点即为满足题意（使三角形AQG的面积等于1/2三角形ADG面积）的Q点，
y=-x-2与抛物线解析式y=(x-1)^2-4联立解得所求点Q的坐标为（（1+根号5）/2，（-3+根号5）/2）和（（1-根号5）/2，（-3-根号5）/2）。
找直线y=-x-2关于直线AG的对称直线（在AG的上方，且到直线AG的距离等于直线y=-x-2到AG的距离），
找法：找点（0，-2）关于（0，-1）的对称点，是（0，0），是原点，所以过原点与AG平行的直线为y=-x,它与抛物线y=(x-1)^2-4,联立解得点
((1+根号13）/2，（-1-根号13）/2），（（1-根号13）/2，（-1+根号13）/2）。
所以所求出的Q点有4个。