如图,圆柱的高为2,底面半径为3,AE,DF是圆柱的两条母线,B、C是下底面圆周上的两点,已知四边形ABCD是正方形.(
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/03 06:22:47
如图,圆柱的高为2,底面半径为3,AE,DF是圆柱的两条母线,B、C是下底面圆周上的两点,已知四边形ABCD是正方形.(1)求证:BC⊥BE;(2)求正方形ABCD的边长;(3)求直线EF与平面ABF所成角的正弦值.主要是第2,3问.发个手写的照片我想会更好;
分析:(I)根据AE⊥底面BEFC,可得AE⊥BC,而AB⊥BC,又AE∩AB=A满足线面垂直的判定定理所需条件,则BC⊥面ABE,根据线面垂直的性质可知BC⊥BE;
(II)根据题意可知四边形EFBC为矩形则BF为圆柱下底面的直径,设正方形ABCD的边长为x,根据BE2+EF2=BF2,建立方程,解之即可求出所求;
(III)以F为原点建立空间直角坐标系,求出面AEF的法向量
n,然后求出法向量与向量EF的余弦值即可求出直线EF与平面ABF所成角的正弦值.
(I)∵AE是圆柱的母线∴AE⊥底面BEFC,(1分)
又BC⊂面BEFC∴AE⊥BC(2分)
又∵ABCD是正方形∴AB⊥BC
又AE∩AB=A∴BC⊥面ABE(3分)
又BE⊂面ABE∴BC⊥BE(4分)
(II)∵四边形AEFD为矩形,且ABCD是正方形∴EF∥BC
∵BC⊥BE∴四边形EFBC为矩形∴BF为圆柱下底面的直径(1分)
设正方形ABCD的边长为x,则AD=EF=AB=x
在直角△AEB中AE=2,AB=x,且BE2+AE2=AB2,得BE2=x2-4
在直角△BEF中BF=6,EF=x,且BE2+EF2=BF2,的BE2=36-x2(2分)
解得x=25,即正方形ABCD的边长为253分)
(III)如图以F为原点建立空间直角坐标系,
则A(25,0,2),B(25,4,0),E(25,0,0),
FA=(25,0,2),
FB=(25,4,0),
FE=(25,0,0)(1分)
设面AEF的法向量为
n=(x,y,z),则
n•FA=(x,y,z)•(25,0,−2)=2
5x−2z=0
n•FB
=(x,y,z)•(25,4,0)=25x−4y=0(3分)
令x=1,则y=52
,
z=5,即
n=(1,
5
2
,
5
)(4分)
设直线EF与平面ABF所成角的大小为θ,则sinθ=|COS<
n
,
EF
>|=|
n
•
EF
|
n
|•|
EF
|
|=|
25
25
•
5
4
+1+5
|=
229
29
(6分)
所以直线EF与平面ABF所成角的正弦值为
229
29
再问: 你好,第三问我们老师要求不用向量法求,可不可以帮我用另一种方法求,谢谢了!!
再问: 困难
再答: 你老师有点偏激
再问: 哈哈,不是。。因为高考的这类题一般用向量法是很难证的,根据以往的高考题。
再答: 你看看 链接:http://res.tongyi.com/resources/article/student/senior/2011/tbtk/0411/1/02.htm
再问: 嗯嗯,谢谢
(II)根据题意可知四边形EFBC为矩形则BF为圆柱下底面的直径,设正方形ABCD的边长为x,根据BE2+EF2=BF2,建立方程,解之即可求出所求;
(III)以F为原点建立空间直角坐标系,求出面AEF的法向量
n,然后求出法向量与向量EF的余弦值即可求出直线EF与平面ABF所成角的正弦值.
(I)∵AE是圆柱的母线∴AE⊥底面BEFC,(1分)
又BC⊂面BEFC∴AE⊥BC(2分)
又∵ABCD是正方形∴AB⊥BC
又AE∩AB=A∴BC⊥面ABE(3分)
又BE⊂面ABE∴BC⊥BE(4分)
(II)∵四边形AEFD为矩形,且ABCD是正方形∴EF∥BC
∵BC⊥BE∴四边形EFBC为矩形∴BF为圆柱下底面的直径(1分)
设正方形ABCD的边长为x,则AD=EF=AB=x
在直角△AEB中AE=2,AB=x,且BE2+AE2=AB2,得BE2=x2-4
在直角△BEF中BF=6,EF=x,且BE2+EF2=BF2,的BE2=36-x2(2分)
解得x=25,即正方形ABCD的边长为253分)
(III)如图以F为原点建立空间直角坐标系,
则A(25,0,2),B(25,4,0),E(25,0,0),
FA=(25,0,2),
FB=(25,4,0),
FE=(25,0,0)(1分)
设面AEF的法向量为
n=(x,y,z),则
n•FA=(x,y,z)•(25,0,−2)=2
5x−2z=0
n•FB
=(x,y,z)•(25,4,0)=25x−4y=0(3分)
令x=1,则y=52
,
z=5,即
n=(1,
5
2
,
5
)(4分)
设直线EF与平面ABF所成角的大小为θ,则sinθ=|COS<
n
,
EF
>|=|
n
•
EF
|
n
|•|
EF
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|=|
25
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5
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(6分)
所以直线EF与平面ABF所成角的正弦值为
229
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再问: 你好,第三问我们老师要求不用向量法求,可不可以帮我用另一种方法求,谢谢了!!
再问: 困难
再答: 你老师有点偏激
再问: 哈哈,不是。。因为高考的这类题一般用向量法是很难证的,根据以往的高考题。
再答: 你看看 链接:http://res.tongyi.com/resources/article/student/senior/2011/tbtk/0411/1/02.htm
再问: 嗯嗯,谢谢
如图,圆柱的高为2,底面半径为3,AE,DF是圆柱的两条母线,B、C是下底面圆周上的两点,已知四边形ABCD是正方形.(
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