如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为棱形,PA⊥底面ABCD,AC=2根号2,PA=2...
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/27 02:39:59
如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为棱形,PA⊥底面ABCD,AC=2根号2,PA=2...
E是PC上的一点,PE=2EC.设二面角A-PB-C为90°,求PD与平面PBC所成角.
![](http://img.wesiedu.com/upload/a/16/a160637b7b75227facadc99f7db47440.jpg)
E是PC上的一点,PE=2EC.设二面角A-PB-C为90°,求PD与平面PBC所成角.
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分析:(I)先由已知建立空间直角坐标系,设D(
2,b,0),从而写出相关点和相关向量的坐标,利用向量垂直的充要条件,证明PC⊥BE,PC⊥DE,从而利用线面垂直的判定定理证明结论即可;
(II)先求平面PAB的法向量,再求平面PBC的法向量,利用两平面垂直的性质,即可求得b的值,最后利用空间向量夹角公式即可求得线面角的正弦值,进而求得线面角(I)以A为坐标原点,建立如图空间直角坐标系A-xyz,
设D(2,b,0),则C(22,0,0),P(0,0,2),E(4
23,0,23),B(2,-b,0)
∴PC=(22,0,-2),BE=(23,b,23),DE=(23,-b,23)
∴PC•BE=43-43=0,PC•DE=0
∴PC⊥BE,PC⊥DE,BE∩DE=E
∴PC⊥平面BED
(II)AP=(0,0,2),AB=(2,-b,0)
设平面PAB的法向量为m=(x,y,z),则m•
AP=2z=0m•
AB=
2x-by=0
取m=(b,2,0)
设平面PBC的法向量为n=(p,q,r),则n•
PC=2
2p-2r=0n•
BE=
23p+bq+
23r=0
取n=(1,-2b,2)
∵平面PAB⊥平面PBC,∴m•n=b-2b=0.故b=2
∴n=(1,-1,2),DP=(-2,-2,2)
∴cos<DP,n>=n•
DP|
n|•|
DP |=12
设PD与平面PBC所成角为θ,则sinθ=12
∴θ=30°
2,b,0),从而写出相关点和相关向量的坐标,利用向量垂直的充要条件,证明PC⊥BE,PC⊥DE,从而利用线面垂直的判定定理证明结论即可;
(II)先求平面PAB的法向量,再求平面PBC的法向量,利用两平面垂直的性质,即可求得b的值,最后利用空间向量夹角公式即可求得线面角的正弦值,进而求得线面角(I)以A为坐标原点,建立如图空间直角坐标系A-xyz,
设D(2,b,0),则C(22,0,0),P(0,0,2),E(4
23,0,23),B(2,-b,0)
∴PC=(22,0,-2),BE=(23,b,23),DE=(23,-b,23)
∴PC•BE=43-43=0,PC•DE=0
∴PC⊥BE,PC⊥DE,BE∩DE=E
∴PC⊥平面BED
(II)AP=(0,0,2),AB=(2,-b,0)
设平面PAB的法向量为m=(x,y,z),则m•
AP=2z=0m•
AB=
2x-by=0
取m=(b,2,0)
设平面PBC的法向量为n=(p,q,r),则n•
PC=2
2p-2r=0n•
BE=
23p+bq+
23r=0
取n=(1,-2b,2)
∵平面PAB⊥平面PBC,∴m•n=b-2b=0.故b=2
∴n=(1,-1,2),DP=(-2,-2,2)
∴cos<DP,n>=n•
DP|
n|•|
DP |=12
设PD与平面PBC所成角为θ,则sinθ=12
∴θ=30°
如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为棱形,PA⊥底面ABCD,AC=2根号2,PA=2...
如图,在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中,AB⊥AC,PA⊥平面ABCD,且PA=AB=2,
四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA垂直底面ABCD,PA=AB=根号2,点E是棱PB的中点
如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥面ABCD,PA=AB=√2,点E是棱PB的中点
如图,已知四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形,底面平行四边形ABCD⊥平面PAD,且PA=2根号3,AB=4,
在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,侧棱PA垂直底面abcd,AB=根号三,BC=1PA=2
在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD=根号2/2AD
如图,四棱锥P-ABCD的底面为菱形且∠ABC=120°,PA⊥底面ABCD,AB=2,PA=√3
如图,四棱锥p-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,角DAB=60度,AB=2AD,PD垂直于底面ABCD.证明PA垂
在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,侧棱PA⊥平面ABCD,AB=根号3
如图,在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中,AB垂直AC PA垂直平面ABCD.且PA=AB=2,BC=2根号2,E
四棱锥p-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AB=根号6,点E是PB中点,AD=根号三