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数列｛an｝满足a1=1,a2=2,an+2=[1+cos（nπ/2）]an+sin（nπ/2）,n=1,2,3… （1

来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：综合作业 时间：2024/11/09 00:11:14
数列｛an｝满足a1=1,a2=2,an+2=[1+cos（nπ/2）]an+sin（nπ/2）,n=1,2,3… （1）求a3,a4,并求数列｛an｝的通项公式 （2）设bn=a2n-1/a2n,Sn=b1+b2+…+bn 证明：当n≥6时,丨Sn-2丨＜1/n
（1）、an+2=[1+cos（nπ/2）]an+sin（nπ/2）,n∈N 因为cosnπ=2cos（nπ/2）-1=1-sin（nπ/2）,所以an+2=[1+cos（nπ/2）]an+sin（nπ/2）,n∈N变形为 an+2=[1+1/2+1/2cosnπ]an+1/2-1/2cosnπ=1/2[(3+cosnπ)+(1-cosnπ)],n∈N 当n为奇数时cosnπ=-1,可得an+2=1/2[(3+cosnπ)an+(1-cosnπ)]=an+2 n为奇数 此时为等差数列an=（n+1）/2 当n为偶数时cosnπ=1,可得an+2=1/2[(3+cosnπ)an+(1-cosnπ)]=2an n为偶数 此时为等比数列an=2^(n/2) （也就是根号二的n次幂） 所以通向公式为an=（n+1）/2 （n为奇数）,an=2^(n/2) （n为偶数） 所以a3=（3+1）/2=2,a4=2^(4/2) =4 （2）、bn=a2n-1/a2n=[（2n-1+1）/2]/[2^(2n/2)]=n/2^n n∈N Sn=1*(1/2)+2*(1/2)^2+……+n*(1/2)^n (1/2)*Sn=1*(1/2)^2+……+(n-1)*(1/2)^n+n*(1/2)^(n+1) 相减 1/2Sn=Sn-1/2Sn=1*(1/2)+1*(1/2)^2+……+(1/2)^n-n*(1/2)^(n+1) =(1/2)*[1-(1/2)^n]/(1-1/2)-n*(1/2)^(n+1) =1-(1/2)^n-n*(1/2)^(n+1) 所以Sn=2-2*(1/2)^n-n*(1/2)^n =2-(n+2)*(1/2)^n 丨Sn-2丨=|2-(n+2)*(1/2)^n-2|=(n+2)*(1/2)^n 因为Sn是减函数,所以只要证明最大的成立则全成立 即S6成立则Sn也成立 S6=(n+2)*(1/2)^n=6/64
数列an满足a1=1,a2=2,a(n+2)=[1+cos^2(nπ/2)]an+sin^2(nπ/2)],n=1.2. 数列｛an｝满足a1=1,a2=2,an+2=[1+cos（nπ/2）]an+sin（nπ/2）,n=1,2,3… （1 一直数列{An}满足A1=1/2,A1+A2+…+An=n^2An 数列{an}满足：1/a1+2/a2+3/a3+…+n/an=2n 数列an满足a1+2a2+3a3+...+nan=(n+1)(n+2) 求通项an 已知数列{An}满足A1=0.5,A1+A2+…+An=n^2An(n∈N*),试用数学归纳法证明:An=1/n(n+1 数列{an}满足a1+2a2+2^2a3+.+2^n-1an=n/2(n属于正整数）, 数列an满足a1=1,a2=2,an+2=(cos^2×nπ/2）an+sin^2×nπ/2,则2013=（） A.20 设数列｛an｝满足a1+2a2+3a3+.+nan=n(n+1)(n+2) 已知数列an满足an=1+2+...+n,且1/a1+1/a2+...+1/an 已知数列an满足1/a1+2/a2+……+n/an=3/8（3∧2n-1）,n属于正整数1.求an 已知数列{an}中满足a1=1,a(n+1)=2an+1 (n∈N*),证明a1/a2+a2/a3+…+an/a(n+1