作业帮三道中学数学竞赛题,200分.截止至23日17：00
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/07 12:33:46
三道中学数学竞赛题,200分.截止至23日17：00
1.求证：对任意的正整数n,[√n(n+2)(n+4)(n+6)]不被7整除.（[x]表示不超过实数x的最大整数）
2.已知t是正整数,若2的t次方可以表示成a的b次方+/-1(a、b是大于1的整数).请找出满足上述条件的所有可能的t值.
3.是否存在14个正整数,使得其乘积等于其中的每一个数加1后得到的14个数的积的1/2008.
因为输入的问题,说明下：第一题n(n+2)(n+4)(n+6)都在根号里面,第二题+/-1表示加1或者减1
如果有合适的回答 剩下的100分随后奉上
这是原题，我觉得已经交待的比较清楚吧？
第二题t=3谁都能知道，肯定还有其他取值；第三题答案是存在
主要是前两题，但至少有答案了
1.求证：对任意的正整数n,[√n(n+2)(n+4)(n+6)]不被7整除.（[x]表示不超过实数x的最大整数）
2.已知t是正整数,若2的t次方可以表示成a的b次方+/-1(a、b是大于1的整数).请找出满足上述条件的所有可能的t值.
3.是否存在14个正整数,使得其乘积等于其中的每一个数加1后得到的14个数的积的1/2008.
因为输入的问题,说明下：第一题n(n+2)(n+4)(n+6)都在根号里面,第二题+/-1表示加1或者减1
如果有合适的回答 剩下的100分随后奉上
这是原题，我觉得已经交待的比较清楚吧？
第二题t=3谁都能知道，肯定还有其他取值；第三题答案是存在
主要是前两题，但至少有答案了
1
n(n+2)(n+4)(n+6)=(n^2+6n+4)^2-16
考察n^2+6n+4被7除的余数,只能为2,3,4,6
分情况讨论,假设被7除余2
设n^2+6n+4＝7k+2,则k>=1
(7k+1)^2a^(b-2)...
所以后面的多项式为一个大于1的奇数,因此也无满足条件的t
综上,只有一个解,即t＝3
3
假设存在,记为a1,a2,..a14
有2008=(1+1/a1)(1+1/a2)..(1+1/a14)=2*2*2*251
先凑出1+1/a14=251/250
然后1+1/a13=1+1/a12=1+1/a11=5/4
剩下的a1=a2=..=a10=1
n(n+2)(n+4)(n+6)=(n^2+6n+4)^2-16
考察n^2+6n+4被7除的余数,只能为2,3,4,6
分情况讨论,假设被7除余2
设n^2+6n+4＝7k+2,则k>=1
(7k+1)^2a^(b-2)...
所以后面的多项式为一个大于1的奇数,因此也无满足条件的t
综上,只有一个解,即t＝3
3
假设存在,记为a1,a2,..a14
有2008=(1+1/a1)(1+1/a2)..(1+1/a14)=2*2*2*251
先凑出1+1/a14=251/250
然后1+1/a13=1+1/a12=1+1/a11=5/4
剩下的a1=a2=..=a10=1
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