是否任何有意义的方程都可以确定隐函数,当然这个隐函数不一定连续和唯一.
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/19 06:19:12
是否任何有意义的方程都可以确定隐函数,当然这个隐函数不一定连续和唯一.
不一定.设函数方程为:
F(x,y) = x^2 + y^2 - 1 = 0,
其中y为x的隐函数,显然你可能会反解到两个y的数值(而函数必须是单值的!),对任何y不为零的点(亦即x绝对值不为1的点)都是这样,隐函数是不存在的.你的问题就解答到这里,下面是进一步的分析.
不知你注意到没有,这里的函数F在所有y不为零的点(设为(x0,y0))都满足隐函数存在定理的条件(隐函数要求F对y的偏导数不能为零),但是为何上面却说在不存在隐函数呢?这是因为隐函数存在定理说的是“局部”存在隐函数,你仔细看那个定理就知道,它说的是在(x0,y0)这点附近的某个邻域内存在隐函数,没有说在所有定义域上都存在隐函数.如果你把这个邻域取得足够小的话就会发现它根本没法和x轴相交,由于任何一个该邻域内的x的点都对应唯一的y值,所以在这个邻域内就存在隐函数.但这并不表示在整个x,y可以取值的范围内隐函数就存在.隐函数存在定理和上面的论断是不矛盾的,因为一个说的是全局的性质,一个说的是局部的性质.
F(x,y) = x^2 + y^2 - 1 = 0,
其中y为x的隐函数,显然你可能会反解到两个y的数值(而函数必须是单值的!),对任何y不为零的点(亦即x绝对值不为1的点)都是这样,隐函数是不存在的.你的问题就解答到这里,下面是进一步的分析.
不知你注意到没有,这里的函数F在所有y不为零的点(设为(x0,y0))都满足隐函数存在定理的条件(隐函数要求F对y的偏导数不能为零),但是为何上面却说在不存在隐函数呢?这是因为隐函数存在定理说的是“局部”存在隐函数,你仔细看那个定理就知道,它说的是在(x0,y0)这点附近的某个邻域内存在隐函数,没有说在所有定义域上都存在隐函数.如果你把这个邻域取得足够小的话就会发现它根本没法和x轴相交,由于任何一个该邻域内的x的点都对应唯一的y值,所以在这个邻域内就存在隐函数.但这并不表示在整个x,y可以取值的范围内隐函数就存在.隐函数存在定理和上面的论断是不矛盾的,因为一个说的是全局的性质,一个说的是局部的性质.
是否任何有意义的方程都可以确定隐函数,当然这个隐函数不一定连续和唯一.
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