第一题已知数列{an}{bn}都是由正数组成的等比数列,公比分别为p,q,其中p>q,且p不等于1,q不等于1,设Cn=
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/04 14:08:25
第一题
已知数列{an}{bn}都是由正数组成的等比数列,公比分别为p,q,其中p>q,且p不等于1,q不等于1,设Cn=an+bn,Sn为数列{Cn}的前n项和,求Sn/S(n-1)的极限
第二题
设数列{an}的首项a1=1,前n项和Sn满足关系式:
3t*Sn-(2t+3)S(n-1)=3t(t>0,n=2,3,4,...)
(1)求证,{an}是等比数列
(2)设数列{an}的公比为f(t),作数列{bn}使得b1=1,bn=f(1/b(n-1))(n=2,3,4...),求bn
(3)求和:b1b2-b2b3+班背-...+b2n-1b2n-b2nb2n+1
已知数列{an}{bn}都是由正数组成的等比数列,公比分别为p,q,其中p>q,且p不等于1,q不等于1,设Cn=an+bn,Sn为数列{Cn}的前n项和,求Sn/S(n-1)的极限
第二题
设数列{an}的首项a1=1,前n项和Sn满足关系式:
3t*Sn-(2t+3)S(n-1)=3t(t>0,n=2,3,4,...)
(1)求证,{an}是等比数列
(2)设数列{an}的公比为f(t),作数列{bn}使得b1=1,bn=f(1/b(n-1))(n=2,3,4...),求bn
(3)求和:b1b2-b2b3+班背-...+b2n-1b2n-b2nb2n+1
设San,Sbn分别为{an}{bn}前n项的和,有
San=a1(1-p^n)/(1-p),Sbn=b1(1-q^n)/(1-q)
由Cn=an+bn得,Sn=San+Sbn
=a1(1-p^n)/(1-p)+b1(1-q^n)/(1-q)
Sn/S(n-1)=[a1(1-q)+b1(1-q)-a1(1-q)p^n-b1(1-p)q^n]/
[a1(1-q)+b1(1-q)-a1(1-q)p^(n-1)-b1(1-p)q^(n-1))]
数列{an}{bn}都是由正数组成的等比数列,所以p>q>0,根据p与1的关系分两类讨论
1,当1>p>q,时,n—>oo,p^n—>0,q^n—>0,p^(n-1)—>0,q^(n-1)—>0,所以:
Sn/S(n-1)—>[a1(1-q)+b1(1-q)]/ [a1(1-q)+b1(1-q)]=1
2,当p>1时,1/p0,(q/p)^(n-1)—>0,(q/p)^n—>0,所以:
Sn/S(n-1)=[a1(1-q)(1/p)^(n-1)+b1(1-q)(1/p)^(n-1)-a1(1-q)p-b1(1-p)q(q/p)^(n-1)]/
[a1(1-q)(1/p)^(n-1)+b1(1-q)(1/p)^(n-1)-a1(1-q)p-b1(1-p)(q/p)^(n-1))]—>p
综上:当p1时,limSn/S(n-1)= p,
(1)证明:当n>1时
3t*Sn-(2t+3)S(n-1)=3t
3t*S(n+1)-(2t+3)Sn=3t
两式相减得:3t*a(n+1)-(2t+3)*an=0
故,a(n+1)/an=2/3+1/t(常数)
又,3t*S2-(2t+3)S1=3t*(a2+a1)-(2t+3)*a1=3t
整理得:a2/a1=2/3+1/t(常数)
所以,{an}是等比数列
(2)依题意:f(t)=2/3+1/t,所以bn=2/3+b(n-1)
bn-b(n-1)=2/3(常数){bn}是首项为1,公差为2/3的等差数列
所以:bn=1+2(n-1)/3=(1+2n)/3
(3)因为bn公差为2/3 ,所以,b(k+2)-b(k)=4/3,{b2n}是以b2=5/3为首项,4/3为公差的等差数列
原式=b1b2-b2b3+b3b4-b4b5-...+b2n-1b2n-b2nb2n+1
=b2(b1-b3)+b4(b3-b5)+…+b2n(b2n-1 - b2n+1 )
=(-4/3)(b2+b4+…+b2n)
=(-4/3){5n/3+[n*(n-1)/2]*4/3}
=-(8n^2+12n)/9
San=a1(1-p^n)/(1-p),Sbn=b1(1-q^n)/(1-q)
由Cn=an+bn得,Sn=San+Sbn
=a1(1-p^n)/(1-p)+b1(1-q^n)/(1-q)
Sn/S(n-1)=[a1(1-q)+b1(1-q)-a1(1-q)p^n-b1(1-p)q^n]/
[a1(1-q)+b1(1-q)-a1(1-q)p^(n-1)-b1(1-p)q^(n-1))]
数列{an}{bn}都是由正数组成的等比数列,所以p>q>0,根据p与1的关系分两类讨论
1,当1>p>q,时,n—>oo,p^n—>0,q^n—>0,p^(n-1)—>0,q^(n-1)—>0,所以:
Sn/S(n-1)—>[a1(1-q)+b1(1-q)]/ [a1(1-q)+b1(1-q)]=1
2,当p>1时,1/p0,(q/p)^(n-1)—>0,(q/p)^n—>0,所以:
Sn/S(n-1)=[a1(1-q)(1/p)^(n-1)+b1(1-q)(1/p)^(n-1)-a1(1-q)p-b1(1-p)q(q/p)^(n-1)]/
[a1(1-q)(1/p)^(n-1)+b1(1-q)(1/p)^(n-1)-a1(1-q)p-b1(1-p)(q/p)^(n-1))]—>p
综上:当p1时,limSn/S(n-1)= p,
(1)证明:当n>1时
3t*Sn-(2t+3)S(n-1)=3t
3t*S(n+1)-(2t+3)Sn=3t
两式相减得:3t*a(n+1)-(2t+3)*an=0
故,a(n+1)/an=2/3+1/t(常数)
又,3t*S2-(2t+3)S1=3t*(a2+a1)-(2t+3)*a1=3t
整理得:a2/a1=2/3+1/t(常数)
所以,{an}是等比数列
(2)依题意:f(t)=2/3+1/t,所以bn=2/3+b(n-1)
bn-b(n-1)=2/3(常数){bn}是首项为1,公差为2/3的等差数列
所以:bn=1+2(n-1)/3=(1+2n)/3
(3)因为bn公差为2/3 ,所以,b(k+2)-b(k)=4/3,{b2n}是以b2=5/3为首项,4/3为公差的等差数列
原式=b1b2-b2b3+b3b4-b4b5-...+b2n-1b2n-b2nb2n+1
=b2(b1-b3)+b4(b3-b5)+…+b2n(b2n-1 - b2n+1 )
=(-4/3)(b2+b4+…+b2n)
=(-4/3){5n/3+[n*(n-1)/2]*4/3}
=-(8n^2+12n)/9
第一题已知数列{an}{bn}都是由正数组成的等比数列,公比分别为p,q,其中p>q,且p不等于1,q不等于1,设Cn=
已知等比数列AN的各项均为正数,公比Q不等于1,P=A1+A2/2,Q=根号下A1A2,P与Q关系
已知等比数列{an}的各项均为正数,公比q不等于1,设P=(a2+a3)/2,Q=根号a1*a4,
已知等比数列的各项均是正数,公比q不等于1,设p=(a3+a9)/2,q=根号a5a7,则p与q 的
已知数列{ал},前n项和Sn=p^n+q(p不等于0且不等于1),求证:数列为等比数列的充要条件为q=-1.
已知数列an是一个以q为公比的等比数列,设bn=1/an,试用an.q表示数列bn的前n项之和Tn
已知{An}是首项为A1,公比为q(q不等于1)的等比数列,其前n项和为Sn,且有S5分之S10=32分之33,设bn=
数学数列难题已知等差数列{an}公差为d,d不等于0,等比数列{bn}公比q,q大于1.设Sn =a1b1 +a2b2
(2009•静安区一模)已知等比数列{an}的各项均为正数,公比q≠1,设P=a3+a92,Q=a5•a7,则P与Q的大
已知{An}是首项为a1,公比为q,(q不等于1,大于0)的等比数列,前n项和为Sn,5*S2=4*S4,设Bn=q+S
已知{an}为等差数列,{bn}是等比数列,其公比q不等于1,且bn>0,若a1=b1,a11=b11,则求a6和b6大
{an}是由正数组成的等比数列,公比q不等于1,且a2,a3/2,a1成等差数列,求(a3+a4)/(a4+a5)的值?