【高中必修一数学】判断函数f（x）=x²+2,(x＞0),0（x=0）,-x²-2（x＜0）的奇偶性

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/07/14 08:05:07

【高中必修一数学】判断函数f（x）=x²+2,(x＞0),0（x=0）,-x²-2（x＜0）的奇偶性
为什么f（x）=0（x=0)是奇函数?我知道为什么其他两个是奇函数,就是不知道这个为什么?

大哥这是一个分段函数啊, 不是三个独立的函数, 奇函数就是f(x)=-f(-x)
证明：

当x=0时,f(0)=-f(-0) =-f(0)=0满足奇函数条件

当x<0时,f(x)=-x²-2,此时-x>0,用第一段函数解析式,有f(-x)=(-x)^2+2=
x²+2,所以f(x)=-f(-x)满足奇函数条件

当x>0时,证法同上

再问：你说的我都知道，我只是想问一下f（x）=0（x∈R）为什么是奇函数，而不是偶函数？可以告诉我吗？谢谢！
再答： f（x）=0（x∈R）这个函数是奇函数也是偶函数，用定义可以证明啊证明： x∈R,-x∈R,所以f（x）=f（-x）=-f（-x）=0，所以该函数是奇函数也是偶函数
再问：那在这道题中，x=0时，函数也是既奇又偶了？那么请问，整个分段函数为什么是奇函数？
再答：任何一个函数的奇偶性是针对整个图象，整个定义域来说的。所以分段函数一定不能单独看每一段的奇偶性，比如这道题函数f（x）=x²+2如果定义域为全体实数，则是偶函数不是奇函数，但是这道题分段函数中，只有x取正的时候，函数表达式才是f（x）=x²+2，取任何一个X>0，都没有一个-X与之对应，还怎么有奇偶性可言呢？最好把奇偶性定义重新认识下，题目当中多体会（结合图象）。我以前才学函数的时候也头疼过把图象画出来看下吧。整个图形关于原点中心对称是奇函数，关于Y轴对称是偶函数。这个是最直观的判断， f（x）=0（x∈R）这个函数是与X轴重合的，关于原点中心对称，也关于Y轴对称。所以是奇函数也是偶函数
再问：那你的意思就是这道题其他情况都是奇函数，而x=0时，是既奇又偶的，所以整体就是奇函数呗？
再答：你这么理解也可以，但是一定要注意分段函数中每一段是不存在奇偶性的， f（x）=x²+2,(x＞0)非奇非偶，-x²-2（x＜0）非奇非偶。特殊情况是如果分段的时候每一段都是关于0对称的，比如说一段是（-1,1），一段是（-3，-1）并上（1,3），一段是（负无穷，-6）并上（6，正无穷）可以你那么理解

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