作业帮 > 数学 > 作业

一道微分中值定理的题已知:f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=1,f(1)=0,求证:在(0,1

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/11/08 01:51:10
一道微分中值定理的题
已知:f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=1,f(1)=0,
求证:在(0,1)内至少存在一点ξ,使f'(ξ)=-f(ξ)/ξ
设G'(ξ)=f'(ξ)*ξ+ f(ξ) ,f(ξ)的原函数为F(ξ)+C
则G(ξ)=f(ξ)*ξ+F(ξ)+C
因为 G(0)=F(ξ)+C G(1)=F(ξ)+C 所以G(0)=G(1)
所以 G(x)满足罗尔定理的条件
故,在( 0,1 ) 存在一点ξ,使 G'(ξ)=0
所以G'(ξ)=f'(ξ)*ξ+ f(ξ) =0,即 f'(ξ)=-f(ξ)/ξ