已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=4an-3(n∈N*).
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/06 20:41:37
已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=4an-3(n∈N*).
(Ⅰ)证明:数列{an}是等比数列;
(Ⅱ)若数列{bn}满足bn+1=an+bn(n∈N*),且b1=2,求数列{bn}的通项公式.
(Ⅰ)证明:数列{an}是等比数列;
(Ⅱ)若数列{bn}满足bn+1=an+bn(n∈N*),且b1=2,求数列{bn}的通项公式.
(Ⅰ)证明:由Sn=4an-3,n=1时,a1=4a1-3,解得a1=1.
因为Sn=4an-3,则Sn-1=4an-1-3(n≥2),
所以当n≥2时,an=Sn-Sn-1=4an-4an-1,
整理得an=
4
3an−1.又a1=1≠0,
所以{an}是首项为1,公比为
4
3的等比数列.
(Ⅱ)因为an=(
4
3)n−1,
由bn+1=an+bn(n∈N*),得bn+1−bn=(
4
3)n−1.
可得bn=b1+(b2-b′1)+(b3-b2)+…+(bn-bn-1)
=2+
1−(
4
3)n−1
1−
4
3=3(
4
3)n−1−1,(n≥2).
当n=1时上式也满足条件.
所以数列{bn}的通项公式为bn=3(
4
3)n−1−1.
因为Sn=4an-3,则Sn-1=4an-1-3(n≥2),
所以当n≥2时,an=Sn-Sn-1=4an-4an-1,
整理得an=
4
3an−1.又a1=1≠0,
所以{an}是首项为1,公比为
4
3的等比数列.
(Ⅱ)因为an=(
4
3)n−1,
由bn+1=an+bn(n∈N*),得bn+1−bn=(
4
3)n−1.
可得bn=b1+(b2-b′1)+(b3-b2)+…+(bn-bn-1)
=2+
1−(
4
3)n−1
1−
4
3=3(
4
3)n−1−1,(n≥2).
当n=1时上式也满足条件.
所以数列{bn}的通项公式为bn=3(
4
3)n−1−1.
已知数列{an}的首项是a1=1,前n项和为Sn,且Sn+1=2Sn+3n+1(n∈N*).
已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=4an-3(n∈N*).
已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n-5an-85,n∈N*
已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n-5an-85,n∈N*
已知数列{An}的前n项和为Sn,且Sn=n²+n(n∈N*)
已知数列{an}的首项a1=5,前n项和为Sn,且Sn+1=2Sn+n+5(n∈N*).
已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=(an-1)/3 (n∈N)
已知数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,且满足2Sn=an2+n-4(n∈N*).
已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=23an+1(n∈N*);
已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sa+Sn=n (n属于N)
已知数列{an}的首项a1=3,前n项和为Sn,且S(n+1)=3Sn+2n(n∈N)
已知数列{an}的前n项的和为Sn,且有a1=2,3Sn=5an-an-1+3Sn-1(n≥2,n∈N*).