已知数列{an（n下标）}满足a1（1下标）=1,a2（2下标）=3,.求证：bn（n下标）是等差数列.

已知数列{an（n下标）}满足a1（1下标）=1,a2（2下标）=3,.求证：bn（n下标）是等差数列.
已知数列{an（n下标）}满足a1（1下标）=1,a2（2下标）=3,an+2（n+2下标）=3an+1（n+1下标）-2an （n下标） (n∈N＊)
若数列{bn（n下标）}满足：4^b1（1下标）-1 *4^b2（2下标）-1 *.4n^b-1={an+1}（n+1下标）^bn,（n下标 ） (n∈N＊),求证：bn（n下标）是等差数列.
(^代表上标)

分析：要求b(n)肯定先要求出a(n）；a(n）好求!只是你列的第二个式子应该有问题,参照你的原式我发现b₁居然求出了是一个对数,这在高中数学中是很少见的!注意：考试并不是要难倒谁,所以当你求出一个很不理想的数字时就应该想到可能有问题了,多数情况是你自己错了很少会是题目错误!我认为你的第二个式子应该是4^[b(1) - 1]*4^[b(2) - 1]*...*4^[b(n)-1])-n] = [a(n)+1];
a(n+2)=3a(n+1)-2a(n)
即 a(n+2)-a(n+1)=2[a(n+1)-a(n)],
[a(n+2)-a(n+1)]/[a(n+1)-a(n)]=2;
可以令c(n)=a(n+1）-a(n);c₁=a₂-a₁=3-1=2;
显然c(n)是一个以2为首项,2为公比的等比数列.
则 c(n)=2*(2^(n-1))=2^n
所以 a(n+1)-a(n)=2^n;
则有 a(n)-a(n-1)=2^(n-1)………………第一项
a(n-1)-a(n-2)=2^(n-2)………………第二项
a(n-2)-a(n-3)=2^(n-3)………………第三项
……
……
……
……
a₂-a₁=2 ……………………第n-1项
等式左边加左边,右边加右边,消去以后得到：
a(n)-a₁=2^(n-1)+2^(n-2)+…………+2
即a(n)-1=-2(1-2^(n-1））
a(n)=2^n-1;
再来求b(n）；
4^(b₁-1)*4^(b₂-1)*…………*4^[b(n)-1]=[a(n)+1]^b(n)
则4^[b₁+b₂+…………+b(n)-n]=2^[n*b(n)];令n=1可得b₁=2;
有2[b₁+b₂+…………+b(n)-n]=n*b(n)…………一式
2[b₁+b₂+…………+b(n-1)-(n-1)]=2^[(n-1)*b(n-1)]…………二式
用一式减去二式得到：
2[b(n)-1]=n*b(n)-(n-1)*b(n-1)
(n-1)*b(n-1）=(n-2)*b(n)+2 ;这里b>=2;
式子两边同时除以（n-1)*(n-2)得到：
b(n-1)/(n-2)=b(n)/(n-1)+2/(n-2)-2/(n-1);
b(n-1)/(n-2)-b(n)/(n-1)=2/(n-2)-2/(n-1);…………第一项
b(n-2)/（n-3)-b(n-1)/(n-2)=2/(n-3)-2/(n-2);…………第二项
…………
…………
…………
…………
b₂/1-b₃/2=2/1-1;………………第(n-2)项；此时n取到了3.
同样等式左右相加消去得到；
b(n)=(n-1)*b₂+2-2*(n-1)=n*b₂-b₂-2*n+4;
则b(n+1）=n*b₂-2*n+2;
用b(n+1)-b(n)=b₂-2;
无论b₂取何值,(b₂-2)均为一常量!故得证!
考个重点大学!开心快乐!