（2014•润州区二模）【阅读】

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/07/20 01:29:24

（2014•润州区二模）【阅读】
在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P₁（x₁，y₁）与P₂（x₂，y₂）的“相对距离”我们记为d（p₁，p₂），给出如下定义：
若|x₁-x₂|≥|y₁-y₂|，则点P₁（x₁，y₁）与点P₂（x₂，y₂）的相对距离d（p₁，p₂）=|x₁-x₂|；
若|x₁-x₂|＜|y₁-y₂|，则点P₁（x₁，y₁）与点P₂（x₂，y₂）的相对距离d（p₁，p₂）=|y₁-y₂|；[尝试]
如图1，在平面直角坐标系中，有两点P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）作P₁Q⊥y轴，P₂Q⊥x轴，
（1）若P₁（1，2），P₂（2，4），则d（p₁，p₂）=______．
（2）当d（p₁，p₂）最小时，∠P₂P₁Q=______．[探究]
已知C是直线y=-

[尝试]
（1）∵
.
1−2.=1，
.
2−4.=2，1＜2，∴d（p₁，p₂）=2．
故答案为：2．
（2）由阅读材料可知：仅当|x₁-x₂|=|y₁-y₂|时，d（p₁，p₂）取最小值．
此时P₁Q=P₂Q．
∵∠P₁QP₂=90°，∴∠P₂P₁Q=∠P₁P₂Q=45°．
故答案为：45°

[探究]
①过点D作直线AC与x轴交于A，与直线EF交于C，过点C作CB⊥y轴于B，如图2，
当点C与点D的“相对距离”的最小值时，|x₁-x₂|=|y₁-y₂|．
则有BC=BD，
所以△BCD为等腰直角三角形，∠BDC=45°．

∵C是直线y＝−
3
4x+3上的一个动点，
∴设点C的坐标为（x₀，−
3
4x0+3）．
∵点C在第一象限，∴x₀＞0，−
3
4x0+3＞1．
∵点D的坐标为（0，1），
∴x0＝−
3
4x0+3−1．
解得：x₀=
8
7．
∴点C的坐标为(
8
7，
15
7)，点C与点D的“相对距离”的最小值为
8
7．
②当点E在过原点且与直线y＝−
3
4x+3垂直的直线上时，点C与点E的“相对距离”最小．

设点E的坐标为（x，y）（点E位于第一象限），
则

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