作业帮高等代数考研题目,求所有三阶复矩阵A,使A与A^2相似
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/04 23:15:05
高等代数考研题目,求所有三阶复矩阵A,使A与A^2相似
如有不懂欢迎
再问：
设B是A的Jordan标准型,题目容易转化成B与B^2相似.分三种情况：
1）B是对角阵,这中情况最简单,相当于B=B^2.
2）B=
x 0 0
0 y 1
0 0 y
这时B^2=
x^2 0 0
0 y^2 2y
0 0 y^2
求出它的Jordan标准型是
x^2 0 0
0 y^2 1
0 0 y^2
这时,只要让x=x^2 ,y=y^2即可.
3）B=
x 1 0
0 x 1
0 0 x
同2）的过程,算出B^2的Jordan标准型是
x^2 1 0
0 x^2 1
0 0 x^2
这时,只要让x=x^2 即可.
求出B以后,任意找一个可逆矩阵P,A = P^(-1) B P都满足题意.
再问： 是不是说只要有当Jordan为对角阵的时候才可以相似（因为其他无解），Jordan的对角元为0或1， 那么就是可以对角化，就存在正交矩阵P=（a1,a2,a3) 设B的对角元分别为a b c 因为他们不是一就是零，所以B=B^2 则 PB P^(-1)=A = PB B P的转置= a^2*a1a1'+b^2*a2a2'+c^2*a3a3' '代表转置 ai是正交向量，那么正交向量乘自己转置生成的矩阵有什么性质可以更约束A的取法吗
再答： 不是只有这个情况才有解，另两个情况也有解，例如情况2可以有一个解为 1 0 0 0 0 1 0 0 0 至于A怎么表示出来，我想你先把所有B算出来，然后用P^(-1) B P表示A，这样解答就算是圆满了
再问：
设B是A的Jordan标准型,题目容易转化成B与B^2相似.分三种情况：
1）B是对角阵,这中情况最简单,相当于B=B^2.
2）B=
x 0 0
0 y 1
0 0 y
这时B^2=
x^2 0 0
0 y^2 2y
0 0 y^2
求出它的Jordan标准型是
x^2 0 0
0 y^2 1
0 0 y^2
这时,只要让x=x^2 ,y=y^2即可.
3）B=
x 1 0
0 x 1
0 0 x
同2）的过程,算出B^2的Jordan标准型是
x^2 1 0
0 x^2 1
0 0 x^2
这时,只要让x=x^2 即可.
求出B以后,任意找一个可逆矩阵P,A = P^(-1) B P都满足题意.
再问： 是不是说只要有当Jordan为对角阵的时候才可以相似（因为其他无解），Jordan的对角元为0或1， 那么就是可以对角化，就存在正交矩阵P=（a1,a2,a3) 设B的对角元分别为a b c 因为他们不是一就是零，所以B=B^2 则 PB P^(-1)=A = PB B P的转置= a^2*a1a1'+b^2*a2a2'+c^2*a3a3' '代表转置 ai是正交向量，那么正交向量乘自己转置生成的矩阵有什么性质可以更约束A的取法吗
再答： 不是只有这个情况才有解，另两个情况也有解，例如情况2可以有一个解为 1 0 0 0 0 1 0 0 0 至于A怎么表示出来，我想你先把所有B算出来，然后用P^(-1) B P表示A，这样解答就算是圆满了
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