作业帮一道数学证明题 关于不等式的
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/06 08:13:16
一道数学证明题 关于不等式的
已知 a b＞0,且a+b=1,求证
1.1/（a平方）+1/（b平方）≥8
2.（a+1/a）平方+（b+1/b）平方≥25/2
3.（a+1/a）*（b+1/b）≥25/4
已知 a b＞0,且a+b=1,求证
1.1/（a平方）+1/（b平方）≥8
2.（a+1/a）平方+（b+1/b）平方≥25/2
3.（a+1/a）*（b+1/b）≥25/4
均值不等式先得出下面的结论
1=a+b≥2√ab ab≤1/4
a^2+b^2≥(a+b)^2/2=1/2
1.
1/a^2+1/b^2
=(a^2+b^2)/(ab)^2
≥(1/2)/(1/4)^2
=8
2.
(a+1/a)^2+(b+1/b)^2
=(a^2+b^2)+4+(1/a^2+1/b^2)
≥1/2+4+8
=25/2
3.
(a+1/a)*(b+1/b)
=ab+1/(ab)+a/b+b/a
≥ab+1/(ab)+2
≥1/4+4+2 (这一步是由耐克函数的增减性得到的)
=25/4
1=a+b≥2√ab ab≤1/4
a^2+b^2≥(a+b)^2/2=1/2
1.
1/a^2+1/b^2
=(a^2+b^2)/(ab)^2
≥(1/2)/(1/4)^2
=8
2.
(a+1/a)^2+(b+1/b)^2
=(a^2+b^2)+4+(1/a^2+1/b^2)
≥1/2+4+8
=25/2
3.
(a+1/a)*(b+1/b)
=ab+1/(ab)+a/b+b/a
≥ab+1/(ab)+2
≥1/4+4+2 (这一步是由耐克函数的增减性得到的)
=25/4