已知函数f(x)=x立方-3ax-1,a不等于0
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/06 21:01:23
已知函数f(x)=x立方-3ax-1,a不等于0
求f(x)的单调区间
问题二若f(x)在x=-1处取得极值,直线y=m与y=f(x)的图像有三个不同的交点,求m的取值范围
求f(x)的单调区间
问题二若f(x)在x=-1处取得极值,直线y=m与y=f(x)的图像有三个不同的交点,求m的取值范围
(1) ∵f(x)=x ³ -3ax-1
∴ f′(x)=3x²-3a
当a<0时,f′(x)=3x²-3a>0 即f′(x)>0恒成立
∴ f(x)在(﹣∞,﹢∞)内单调递增函数.
当a>0时,令f′(x)=0,则x=±√a
∴f(x)在(﹣∞,﹣√a)和(﹢√a,﹢∞)内单调递增函数;
f(x) 在(﹣√a,﹢√a)内是单调递减函数.
(2)∵ f(x)在x=﹣1处取得极值
∴f′(﹣1)=0 即 3-3a=0
∴ a=1
∴ f(x)=x ³ -3x-1
∴ f′(x)=3x²-3
令f′(x)=0 则 3x²-3=0
∴x=﹣1或x=1
∴f(x)在(﹣∞,﹣1)单调递增,在(﹣1,1)内单调递减
∴f(x)在x=﹣1处取得极大值,即 f(﹣1)=1
又∵ f(x)在(﹣1,1)内单调递减 ,在(1,﹢∞)内单调递减.
∴f(x)在x=1处取得极小值,即 f(1)=﹣3
∵ 直线y=m与y=f(x)的图像有三个不同的交点
∴根据图象可知:﹣3<m<1
故m的取值范围为﹣3<m<1
∴ f′(x)=3x²-3a
当a<0时,f′(x)=3x²-3a>0 即f′(x)>0恒成立
∴ f(x)在(﹣∞,﹢∞)内单调递增函数.
当a>0时,令f′(x)=0,则x=±√a
∴f(x)在(﹣∞,﹣√a)和(﹢√a,﹢∞)内单调递增函数;
f(x) 在(﹣√a,﹢√a)内是单调递减函数.
(2)∵ f(x)在x=﹣1处取得极值
∴f′(﹣1)=0 即 3-3a=0
∴ a=1
∴ f(x)=x ³ -3x-1
∴ f′(x)=3x²-3
令f′(x)=0 则 3x²-3=0
∴x=﹣1或x=1
∴f(x)在(﹣∞,﹣1)单调递增,在(﹣1,1)内单调递减
∴f(x)在x=﹣1处取得极大值,即 f(﹣1)=1
又∵ f(x)在(﹣1,1)内单调递减 ,在(1,﹢∞)内单调递减.
∴f(x)在x=1处取得极小值,即 f(1)=﹣3
∵ 直线y=m与y=f(x)的图像有三个不同的交点
∴根据图象可知:﹣3<m<1
故m的取值范围为﹣3<m<1
已知函数f(x)=x立方-3ax-1,a不等于0
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