不定积分啊!f ' (e^x)=asinx+bcosx 求∫f(x)dx

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/11/08 14:10:43

不定积分啊!f ' (e^x)=asinx+bcosx 求∫f(x)dx
已知f ' (e^x)=asinx+bcosx 注：a、b是不同时为零的常数）求∫f(x)dx
x/2 [(a+b)sinx(lnx)+(b-a)cos(lnx)]
偶令 e^x=t x=lnt f ' (t)=asin（lnt）+bcos（lnt）再求∫f ' (t)dx 即求出f(t)，继而求∫f(x)dx

f ' (e^x)=asinx+bcosx
e^xf ' (e^x)dx=ae^xsinxdx+be^xcosxdx
两边积分∫e^xf ' (e^x)dx=a∫e^xsinxdx+b∫e^xcosxdx
∫f ' (e^x)de^x=a∫e^xsinxdx+b∫e^xcosxdx
左边等于f(e^x)
下面用分部积分求右边
∫e^xsinxdx=∫sinxde^x=sinxe^x-∫e^xdsinx=sinxe^x-∫e^xcosdx=sinxe^x-∫cosxde^x
=sinxe^x-cosxe^x+∫e^xdcosx=sinxe^x-cosxe^x-∫sinxe^xdx
所以∫e^xsinxdx=(1/2)e^x(sinx-cosx)
同理∫e^xcosxdx=(1/2)e^x(sinx+cosx)
所以f(e^x)=(1/2)e^x[(a+b)sinx+(b-a)cosx+C
所以换元令t=e^x,x=lnt
f(t)=t/2×[(a+b)sin(lnt)+(b-a)cos(lnt)]
f(x)=x/2×[(a+b)sin(lnx)+(b-a)cos(lnx)]
刚开始就换元也是一回事,完全可以.

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