为了丰富少年儿童的业余生活,某社区要在如图所示AB所在的直线上建立一个图书馆,本区有两所学校在点C和点D处,CA⊥AB于

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/11/08 18:38:46

为了丰富少年儿童的业余生活,某社区要在如图所示AB所在的直线上建立一个图书馆,本区有两所学校在点C和点D处,CA⊥AB于A,DB⊥AB于B,已知AB=25km,CA=15km,DB=10km.
（1）试问点E应该建在距点A多少km处,才能使他到两所学校的距离相等
（2）在AB上找一点P,使PC+PD的值最小,并求出最小值

答：（1）点E应建在CD的垂直平分线与AB的交点处.由于线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等,即EC=ED.
假设点E距点A的距离为X,由于他到两所学校的距离相等,且CA⊥AB,CA⊥AB,则在Rt△ACE和Rt△BDE中,有：
10^2+（25-X）^2=ED（勾股定理）
15^2+X^2=EC（勾股定理）
所以10^2+（25-X）^2=15^2+X^2
解得X=10.
即点E距点A的距离为10km.
(2)延长DB到点F使得BF=DB,连接CF交AB于点P,那么点P即为所求,PC+PF=PC+PD=CF.
延长BD到点G使得BG=CA=15km,连接CG,则CG=AB=25km,BG⊥CG.则在Rt△FCG中,根据勾股定理得：CG^2+BG^2=CF^2即25^2+15^2=CF^2
解得CF=√850=5√34km.