已知实数a.b.c满足a^+b^=1,b^+c^=2,c^+a^=2,则ab+bc+ca的最小值为?
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/03 08:51:42
已知实数a.b.c满足a^+b^=1,b^+c^=2,c^+a^=2,则ab+bc+ca的最小值为?
∵a²+b²=1 ①
b²+c²=2 ②
c²+a²=2 ③
有②、③得:b²+c²=c²+a²
∴b²=a²
把b²=a²代入①得;a²=b²=0.5
把a²=b²=0.5代入②得;c²=1.5
ab+bc+ca=[﹙a+b+c﹚²-﹙a²+b²+c²﹚]/2
=1/2[(a+b+c)²-﹙5/2﹚]
当﹙a+b+c﹚最小时;
1/2(a+b+c)²-﹙5/2﹚才是最小的
∴有两种情况
一种是 a=b>0 c<0
另一种是 c>0 a=b<0
① :a=b=√2/2 c=﹣﹙√6/2﹚
∴a+b+c=﹙2√2-√6﹚/2
∴1/2[(a+b+c)²-﹙5/2﹚]=﹙1-2√3﹚/2
②a=b=﹣﹙√2/2﹚ c=√6/2
∴1/2(a+b+c)²-﹙5/2﹚=﹙1-2√3﹚/2
∵﹙2-2√3﹚/2=﹙1-2√3﹚/2
综上所述:
∴﹙ab+bc+ca﹚min=﹙1-2√3﹚/2=0.5-√3
b²+c²=2 ②
c²+a²=2 ③
有②、③得:b²+c²=c²+a²
∴b²=a²
把b²=a²代入①得;a²=b²=0.5
把a²=b²=0.5代入②得;c²=1.5
ab+bc+ca=[﹙a+b+c﹚²-﹙a²+b²+c²﹚]/2
=1/2[(a+b+c)²-﹙5/2﹚]
当﹙a+b+c﹚最小时;
1/2(a+b+c)²-﹙5/2﹚才是最小的
∴有两种情况
一种是 a=b>0 c<0
另一种是 c>0 a=b<0
① :a=b=√2/2 c=﹣﹙√6/2﹚
∴a+b+c=﹙2√2-√6﹚/2
∴1/2[(a+b+c)²-﹙5/2﹚]=﹙1-2√3﹚/2
②a=b=﹣﹙√2/2﹚ c=√6/2
∴1/2(a+b+c)²-﹙5/2﹚=﹙1-2√3﹚/2
∵﹙2-2√3﹚/2=﹙1-2√3﹚/2
综上所述:
∴﹙ab+bc+ca﹚min=﹙1-2√3﹚/2=0.5-√3
已知实数a.b.c满足a^+b^=1,b^+c^=2,c^+a^=2,则ab+bc+ca的最小值为?
已知实数a,b,c满足a2+b2=1,b2+c2=2,c2+a2=2,则ab+bc+ca的最小值为( )
已知实数a,b,c满足a^2+b^2=1,b^2+c^2=2,c^2+a^2=2,则ab+bc+ca的最小值是多少
已知实数a,b,c满足a平方+b平方=1,b平方+c平方=2,c平方+a平方=2,则ab+bc+ca的最小值是
已知实数a、b、c满足a×a+b×b=1,b×b+c×c=2,c×c+a×a=2,则ab+bc+ac的最小值是多少?
已知实数abc满足a^2+b^2=1,b^2+c^2=2,c^2+a^2=2,则ab+bc+ca的最小值为?
已知a×a+b×b=1,b×b+c×c=2,c×c+a×a=2,求ab+bc+ca的最小值是多少?
已知a,b,c>0,且ab+bc+ca=1,则a+b+c的最小值为多少
已知实数abc,满足a+b+c=1,则a^2+b^2+c^2,ab+bc+ca,1/3的大小关系
已知实数a,b,c满足a^2+b^2=1 b^2+c^2=1 a^2+c^2=1 则ab+bc+ac的最小值为
已知a,b,c为正实数,且ab+bc+ca=1(1)求a+b+c-abc的最小值(2)证明:a^2/(a^2+1)+b^
已知正实数a,b,c,满足a+b+c=1,求bc/a+ac/b+ab/c的最小值