高数积分证明题设f(x)在[-a,a]上二阶导函数连续,(a>0),且f(0)=0,证明：在[-a,a]上至少存在一点c

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/07/05 10:13:57

高数积分证明题
设f(x)在[-a,a]上二阶导函数连续,(a>0),且f(0)=0,证明：在[-a,a]上至少存在一点c,使得a^3f''(c)=3∫(a~-a)f(x)dx
那个积分是上限为a,下限为-a,答得好的绝对加分.
等式左边是a的三次方

要用到泰勒公式和积分中值定理：
f(x)
=f(0)+f'(0)x+[f''(θ)/2]x^2
=f'(0)x+[f''(θ)/2]x^2
对上式在区间[-a,a]上作定积分
∫(a~-a)f(x)dx
=f'(0)∫(a~-a)xdx+∫(a~-a)[f''(θ)/2]x^2dx
到这一步一定要注意：θ是关于x的一个变量
∵x^2在区间[-a,a]上不变号,f''(θ)/2是[-a,a]上有界函数
f''(θ)/2∈[m/2,M/2]
∴利用积分中值定理
→接上面的等号：
=[ξ/2]∫(a~-a)x^2dx【ξ∈[m,M]】
=[f''(c)/2]∫(a~-a)x^2dx
=[f''(c)/2][2a^3/3]
=f''(c)a^3/3
∴在[-a,a]上至少存在一点c,使得a^3f''(c)=3∫(a~-a)f(x)dx

高数积分证明题设f(x)在[-a,a]上二阶导函数连续,(a>0),且f(0)=0,证明：在[-a,a]上至少存在一点c 设函数f(x)在(a,b)上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=0,证明：至少存在一点n属于（a,b) 设函数f(x)在[a,b]上连续,(a,b)可导,且f(a)=0,证明至少存在一点ξ∈(a 设函数f(x)在[0,a]上连续,在(0,a)内可导,且f(0)=0,证明至少存在一点m属于(0,a)使得设函数F(X)在开区间（0,2a)上连续,且f(0)=f(2a),证明在零到A上至少存在一点X,使f(x)=f(a+x) 设函数f(X)在区间[0,2a]上连续,且f(0)=f(2a),证明：在[0,a]上存在一点c,使f(C)=f(c+a) 设函数f(x)在区间[0,2a]上连续,且f(0)=f(2a),证明：在[0,a]上至少存在一点ξ,使f(ξ)=f(ξ+ 设函数f(x)在[0,2兀]上连续,且f(0)=f(2兀）,证明在[0,兀]上至少存在一点a使f(a)=f(a+兀）设函数f(x)在上[0,a]连续,在(0,a)内可导,且f(a)=0,证明：在(0,a)中至少存在一点ξ,使f(ξ)+ξ 设f(x)在[0,a]上连续,在(0,a)内可导,且f(a)=0,证明:至少存在一点C∈(0,a),使得f(C)+Cf 中值定理证明题设函数F（X）在[A B]上连续,在（A B）内可导,且F(A)=F(B)=0,试证明（A B)内至少存在函数f(x)在区间[0,2a]上连续,且f(0)=f(2a),证明；在[0,a]上至少存在一点使得f(x)=f(x+a)