（2013•重庆模拟）如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，直线PC与底面

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/07/16 20:37:15

（2013•重庆模拟）如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，直线PC与底面ABCD所成的角为45°，E、F分别是BC、PC的中点．
（Ⅰ）证明：AE⊥PD；
（Ⅱ）求二面角E-AF-C的余弦值．

（Ⅰ）BC=AB，∠ABC=60°，∴AE⊥BC，∴△ABC是等边三角形；
又E是BC中点，∴AE⊥BC，BC∥AD，∴AE⊥AD；
PA⊥面ABCD，AE⊂平面ABCD，PA⊥AE，即AE⊥PA，AD∩PA=A；
∴AE⊥平面PAD，∴AE⊥PD；
（Ⅱ）以A为原点，

AE、

AD、

AP分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系；
根据已知条件及图形知，∠PCA是直线PC与底面ABCD所成的角，∴∠PCA=45°，∴PA=AC；
设菱形ABCD的边长为2，∴A（0，0，0），E(
3，0，0)，P（0，0，2），C(
3，1，0)，F(

3
2，
1
2，1)；
设平面AEF的法向量为

n1＝(x1，y1，z1)，则

AE•

n1＝0

AF•

n1＝0，

AE＝(
3，0，0)，

AF＝(

3
2，
1
2，1)；
∴

3x1＝0

3
2x1+
1
2y1+z1＝0
令y₁=2得，∴

n1＝(0，2，−1)；
同理可得平面PAC的法向量

n1＝(−
3，3，0)；
∴cos＜

n1，

n2＞＝

n1•

n2

|n1|•|

n2|=

15
5
∴二面角E-AF-C的余弦值为

15
5．

（2013•重庆模拟）如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，直线PC与底面如图,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,直线PC与底面ABC所成如图,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E,F分别是BC,PC的中点如图,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E,F分别是BC,PC的中空间角已知,四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E、F分别为BC、PC的中点, 已知四棱锥p-abcd中,底面abcd为菱形pa⊥平面abcd,∠abc=60度,e,f分别是bc,pc的中点已知四棱锥p-ABCD,底面ABCD为菱形,PA垂直平面ABCD,角ABC=60°,E.F分别是BC.PC的中点.（1）如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分别是BC，PC的中点．如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为4的菱形,角ABC=60°,PC⊥平面ABCD,PC=4,E为PA的中点, 如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的菱形，∠ABC=60°，PC⊥平面ABCD，PC=a，E为PA中点，四棱锥P-ABCD的底面为菱形∠ABC=120°,PA⊥底面ABCD,AB=1,PA=根号3,E为PC的