怎样求值域
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/19 01:49:45
怎样求值域
不会求值域
不会求值域
解题思路: 在函数的三要素中,定义域和值域起决定作用,而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域,不但要重视对应法则的作用,而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域,是学生感到头痛的问题,它所涉及到的知识面广,方法灵活多样,在高考中经常出现,占有一定的地位,若方法运用适当,就能起到简化运算过程,避繁就简,事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下,供参考。
解题过程:
求函数值域的方法归类
在函数的三要素中,定义域和值域起决定作用,而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域,不但要重视对应法则的作用,而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域,是学生感到头痛的问题,它所涉及到的知识面广,方法灵活多样,在高考中经常出现,占有一定的地位,若方法运用适当,就能起到简化运算过程,避繁就简,事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下,供参考。
1. 观察法
对于一些简单的函数,可在定义域及函数对应关系基础上确定函数的值域,这叫观察法。
由于函数值域是对应于函数定义域的函数值集合,因此首先要考察函数结构。在此基础上,从定义域出发,逐步推断出函数的值域。
例1:求函数y=(x-3)的值域。
解:∵函数定义域为-1≤x<1,又∵≥0,x-3<0,∴y≤0,即函数值域y∈(-∞,0]。
2.反函数法
如果函数在定义域内存在反函数,而求函数值域又不易求解时,可在通过求反函数的定义域的过程中而使问题获解,叫反函数求函数值域的方法。
即由y=f(x),反解出求函数x=f(x),原函数值域包含在f(y)的定义域中。然后分析二者的关系以确定函数值域。此法的成功取决于反解成立,分析正确,并注意在反解过程中保持同解性。
例2:求函数y=+,x∈(0,1]的值域。
错解一:∵y=+≥2,∴函数值域y∈[2,+∞)。
剖析:当x=(0,+∞]时,结论x=[2,+∞)才是正确的。但当x∈(0,1),这个结论就不可靠了。
错解二:y=+?圳x-2yx+4=0,
∵x∈R,∴△4y-16≥0,解得y≤-2或y≥2。
函数值域为(-∞,-2]∪[2,+∞)。
剖析:以上求出的结果,只能是x∈(-∞,0)∪(0,+∞)时函数的值域,解法二同样忽略了0≤x≤1了这一限制条件,而x∈(0,1]的值域用“判别式法”是无法解决的。
正解:(反函数法)y=+?圳x-2yx+4=0,
∵x∈(0,1],y≥2,∴y+≥2(1),∴方程(1)的根只能是x=y-,由0<y-≤1,解得y≥,∴函数值域为[,+∞)。
3.转化法
利用已知值域的函数或所给函数的定义域,作为“媒介”,将待求值域的函数式变形。通过适当的运算,求得所给函数的值域。将所求函数值域问题转化为熟知的基本初等函数的值域问题,常能化难为易。
例3:求函数y=的值域。
解:由函数表达式得:2sinx+ycosx=3-y?圳sin(x+θ)=3-y,其中θ由sinθ和cosθ=确定。
∵|sin(x+θ)|≤1,∴()≥(3-y)?圳y≥,即原函数值域y∈[,+∞)。
4.不等式法
运用不等式的性质,特别是含等量的不等式,分析等号成立的条件,以确定函数值域,叫不等式求函数值域的方法。
例4:已知α∈(0,π),求函数y=sinα+的值域。
错解:∵α∈(0,π),∴sinα>0,>0,sinα+≥2=2,函数值域为[2,+∞)。
剖析:由于忽略了“当且仅当sinα+时上式才能取等号”,但因|sinα|≤1故sinα≠,因此上式不能取等号,至少应有y≠2。
正解:∵α∈(0,π),∴sinα>0,>0,sinα+=sinα++≥3≥3。
当且仅当sinα=,即sinα=1时,上式能全取等号。
小结:用“不等式法”求函数值域,主要是利用“几个正数的算术平均值不小于其几何平均值”,但须注意取等号时条件是否能得到满足。
5.最值法
由于初等函数在其定义域内是连续的,所以我们可以通过求函数在定义区间内的最大值,最小值的办法,并求函数的值域。
例5:求函数y=的值域。
解:由函数定义域知,cosx∈[-1,-)∪(-,1]。
(1)当cosx∈[-1,-)时,∵y=x+=1-(-1),∴()=-1,注意到cosx?邛(-),y?邛-∞∴-∞<y≤-1。
(2)当cosx∈(-,1]时,∵(1+2cosx))=-1,∴()=,注意到cosx?邛(-),y?邛+∞,∴≤y<+∞。
故函数值域为(-∞,-1]∪[,+∞).
一般二次函数的值域常用此法求解。有些高次整函数也可用此法。
6.判别式
根据一元二次方程ax+by+c=0有实根时,△=b-4ac≥0。的性质,求函数值域的方法叫做判别式法。
例6:求函数y=2x-7x+3的值域。
解:∵2x-7x+3-y=0,且x∈R,∴△=b-4ac=49-8(3-y)≥0,y≥,∴该函数值域为[,+∞).
此法可用于行如:y=(A,P不同时为零,分子分母无公因式)的函数的值域。但必须强调:(1)是既约公式;(2)验证端点值是否能取到;(3)整理成行如一元二次方程的形式后,若平方项系数含字母要讨论;(4)若定义域人为受限,则判别式法失效。
7.换元法
通过代数换元法或者三角函数换元法,把无理函数、指数函数、对数函数等超越函数转化为代数函数求函数值域的方法叫换元法。
例7:已知函数f(x)的值域是[,],求y=f(x)+的值域。
解:∵f(x)∈[,],∴≤f(x)≤,故≤≤。令t=,则t∈[,]。有f(x)=(1-t),y=g(t)=(1-t)+t=-(t-1)+1,由于g(t)在t∈[,]时单调递增
∴当t=,y=,当t=,y=,
∴y=f(x)+的值域是[,].
8.图像法(数行结合法)
通过分析函数式的结构、定义域、单调性、奇偶性、极值等。确定若干有代表性的点,勾画出函数的大致图形,从而确定函数的值域。
例8:求函数y=|x-1|+x的值域。
解:原函数可以表达成:当x≤-1或x≥1,y=|x-1|+x=(x+2)-;当-1≤x≤1,y=|x-1|+x=-(x+)+。
作出函数图像(见图1)
由图像知函数值域为[-1,+∞)。
9.单调性法
利用函数单调性,先求出函数的单调区间,再求每个区间上函数的值域,最后取其并集即得函数值域。
例9:求y=x-的值域。
解:∵y=x和y=-均为单调增函数,
∴y=y+y=x-为增函数,由定义域x≤知y=,故y≤.
10.配方法
如果给定一个复合函数,y=f[g(x)],若g(x)或f(x)可以视为一元二次多项式,则要用配方法求其函数值域。
例10:求y=x+的值域。
解:∵y=x+=1-(-1),在定义域x≤内,显然有(-1)≥0,∴y≤1,函数值域为(-∞,1]。
十一.利用多项式的除法
例5求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域。
点拨:将原分式函数,利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。
解:y=(3x+2)/(x+1)=3-1/(x+1)。
∵1/(x+1)≠0,故y≠3。
∴函数y的值域为y≠3的一切实数。
点评:对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法。
练习:求函数y=(x2-1)/(x-1)(x≠1)的值域。(答案:y≠2)
本文仅从求函数值域的十种常用方法谈起,在不同的文献中可能会有与本文有出入的其它不同的方法,但解法大致相同,如构造法、极限法、解析法、复数换元法、三角代换法、恒等变换法、有理化法等。当然,本论文求函数值域的方法不是一成不变的,应在多次解题过程中综合并灵活应用这几种方法。
http://www.qikan120.com/qydtInfo.asp?Articleid=42080
2. 配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例3. 求函数
的值域。
解:将函数配方得:![](http://img.wesiedu.com/upload/c/a2/ca2db405d7a63ae7d3816cfa06bf3cdd.png)
∵![](http://img.wesiedu.com/upload/f/29/f29da4de8918b31a036475388ff30c3d.png)
由二次函数的性质可知:当x=1时,
,当
时,![](http://img.wesiedu.com/upload/9/c0/9c0c9ff4fe5a0d44dc65525f737d6cdc.png)
故函数的值域是:[4,8]
3. 判别式法
例4. 求函数
的值域。
解:原函数化为关于x的一元二次方程
![](http://img.wesiedu.com/upload/f/8d/f8db6a9184b25ca6c6d3e56da43fbd22.png)
(1)当
时,![](http://img.wesiedu.com/upload/1/b8/1b848036e8cc8d90add62729436dfd21.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/9/d9/9d980351fd1884b0c2b0514e57d64c22.png)
解得:![](http://img.wesiedu.com/upload/9/e6/9e619467628e22087279724150687bec.png)
(2)当y=1时,
,而![](http://img.wesiedu.com/upload/c/70/c703fdf311ae09c778239f051f6927b1.png)
故函数的值域为![](http://img.wesiedu.com/upload/0/0e/00e8d9c760fb20c9122afcd8535daf05.png)
例5. 求函数
的值域。
解:两边平方整理得:
(1)
∵![](http://img.wesiedu.com/upload/1/b8/1b848036e8cc8d90add62729436dfd21.png)
∴![](http://img.wesiedu.com/upload/6/c4/6c44a6b62410b0873b1a514184385708.png)
解得:![](http://img.wesiedu.com/upload/4/54/4541fbe669c7cc7931a8681381a8a8ce.png)
但此时的函数的定义域由
,得![](http://img.wesiedu.com/upload/4/15/415ddfaf48bc04ae30ad15a3810e4682.png)
由
,仅保证关于x的方程:
在实数集R有实根,而不能确保其实根在区间[0,2]上,即不能确保方程(1)有实根,由
求出的范围可能比y的实际范围大,故不能确定此函数的值域为
。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
∵![](http://img.wesiedu.com/upload/4/15/415ddfaf48bc04ae30ad15a3810e4682.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/2/07/2075cd396b0087cb9071214c52124900.png)
代入方程(1)
解得:![](http://img.wesiedu.com/upload/d/9f/d9f3d0b43420e735b64ce8366e2e87e4.png)
即当
时,
原函数的值域为:![](http://img.wesiedu.com/upload/5/f1/5f16a5ee6931a8d729195d478a88a1f7.png)
注:由判别式法来判断函数的值域时,若原函数的定义域不是实数集时,应综合函数的定义域,将扩大的部分剔除。
4. 反函数法
直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
例6. 求函数
值域。
解:由原函数式可得:![](http://img.wesiedu.com/upload/6/2a/62aae6babb6ba86fcd39b93dcc56c185.png)
则其反函数为:
,其定义域为:![](http://img.wesiedu.com/upload/f/d4/fd4647a2a46abcd576f7a486d3052f11.png)
故所求函数的值域为:![](http://img.wesiedu.com/upload/c/a5/ca568d33f7f4de95097b7e258b1b20af.png)
5. 函数有界性法
直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,反客为主来确定函数的值域。
例7. 求函数
的值域。
解:由原函数式可得:![](http://img.wesiedu.com/upload/f/ac/facea4bb0c715380bfd0bd4595ebb537.png)
∵![](http://img.wesiedu.com/upload/2/25/2250905483a4474bf79dd46cac684471.png)
∴![](http://img.wesiedu.com/upload/f/fc/ffc0416cff16d2de9e29b91732d180c7.png)
解得:![](http://img.wesiedu.com/upload/8/0a/80a2879e4f030c3c82c1f5d1ab903368.png)
故所求函数的值域为![](http://img.wesiedu.com/upload/e/d0/ed0b5f4f02e103d277b23d5418637cb8.png)
例8. 求函数
的值域。
解:由原函数式可得:
,可化为:
![](http://img.wesiedu.com/upload/5/3d/53d5223f8cec5f7c75f2db8cda8bc58b.png)
即![](http://img.wesiedu.com/upload/2/27/22728b4a38da302a38afc62bef9b64f2.png)
∵![](http://img.wesiedu.com/upload/1/b8/1b848036e8cc8d90add62729436dfd21.png)
∴![](http://img.wesiedu.com/upload/d/07/d07a43292c18220d213f686c7bc35b93.png)
即![](http://img.wesiedu.com/upload/f/fb/ffb97fd15501762374975e5140e35fc8.png)
解得:![](http://img.wesiedu.com/upload/3/30/33035da7c62acdb901faa422a55233e0.png)
故函数的值域为![](http://img.wesiedu.com/upload/e/ac/eacc51a8cf564154ecbf26e77d2acd75.png)
6. 函数单调性法
例9. 求函数
的值域。
解:令![](http://img.wesiedu.com/upload/e/39/e397c4adcd6e717ad8ec9f7442828101.png)
则
在[2,10]上都是增函数
所以
在[2,10]上是增函数
当x=2时,![](http://img.wesiedu.com/upload/d/fb/dfb9ce99178530c7fed23e45c7068a8f.png)
当x=10时,![](http://img.wesiedu.com/upload/3/ee/3ee31b7590cbf0dd0d18f9b8eb910ce9.png)
故所求函数的值域为:![](http://img.wesiedu.com/upload/3/86/3860d345e638a2d48d91c18bc24162a6.png)
例10. 求函数
的值域。
解:原函数可化为:![](http://img.wesiedu.com/upload/d/41/d41b2759677a928bb7219f3cec234466.png)
令
,显然
在
上为无上界的增函数
所以
,
在
上也为无上界的增函数
所以当x=1时,
有最小值
,原函数有最大值![](http://img.wesiedu.com/upload/f/95/f950fbf26ca625911e30776b24b35f37.png)
显然
,故原函数的值域为![](http://img.wesiedu.com/upload/a/12/a121c788d9f745ead0092706cc079701.png)
7. 换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型,换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发挥作用。
例11. 求函数
的值域。
解:令
,![](http://img.wesiedu.com/upload/3/ac/3ac1ec08e5fd5045c69014afc00d49ce.png)
则![](http://img.wesiedu.com/upload/0/bb/0bbb5c833c21cff9a8768613c5a2a4eb.png)
∵![](http://img.wesiedu.com/upload/b/b0/bb009433600f32d9403e139cd5b3ab5b.png)
又
,由二次函数的性质可知
当
时,![](http://img.wesiedu.com/upload/c/00/c00de02f5667d72b47f83aae98ec01e2.png)
当
时,![](http://img.wesiedu.com/upload/3/36/336b81a6ae2eb7c1f9117a1b5b5fe1d0.png)
故函数的值域为![](http://img.wesiedu.com/upload/c/96/c9686547acaa7f7d2649c1bc0388d010.png)
例12. 求函数
的值域。
解:因![](http://img.wesiedu.com/upload/5/87/5873ec0b42291b3fbb422d42939b11b3.png)
即![](http://img.wesiedu.com/upload/7/f9/7f98e10d365c8333fd94cd86d9882461.png)
故可令![](http://img.wesiedu.com/upload/7/c7/7c714596262eaef67acd750f09cdb357.png)
∴![](http://img.wesiedu.com/upload/f/bf/fbfd071082cf557792634afe9bab6338.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/c/7d/c7de7782fa7a244585bfba31bd7ce196.png)
∵![](http://img.wesiedu.com/upload/a/19/a19173dce5d375483d0316fc60fa77f1.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/1/f8/1f8dc8ac2a60eee44d52d1ddc62ee897.png)
故所求函数的值域为![](http://img.wesiedu.com/upload/5/f1/5f16a5ee6931a8d729195d478a88a1f7.png)
例13. 求函数
的值域。
解:原函数可变形为:![](http://img.wesiedu.com/upload/c/5b/c5bcf77458932558584d1f93010e5b43.png)
可令
,则有![](http://img.wesiedu.com/upload/c/13/c13a05195d86a058a80bd42d0b96b268.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/e/32/e3224a585cbe75fcb0cee5fad8e4f0c7.png)
当
时,![](http://img.wesiedu.com/upload/1/21/1218ccf1e5bbb8c5a23691f0b2750e2e.png)
当
时,![](http://img.wesiedu.com/upload/a/ec/aec506d8f3ae40c8cfe3aff6423a5487.png)
而此时
有意义。
故所求函数的值域为![](http://img.wesiedu.com/upload/5/88/588da8dc132a8279458fa965d33dce1c.png)
例14. 求函数
,
的值域。
解:![](http://img.wesiedu.com/upload/0/87/08768492fbeff455571df199ad8aa590.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/0/94/094846e2171691ce2338dda693fb9235.png)
令
,则![](http://img.wesiedu.com/upload/0/bd/0bd306c8eb7553010dfc9165a1e25e02.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/c/3d/c3d8021f106ac29fd850bb37784780f9.png)
由![](http://img.wesiedu.com/upload/d/ba/dba182b8deab4f8a8afa722fc12cecaf.png)
且![](http://img.wesiedu.com/upload/9/7d/97d0602825f5d965a6d7188dffd1ba32.png)
可得:![](http://img.wesiedu.com/upload/0/2b/02b000487fb279e2cca0a21fa71131be.png)
∴当
时,
,当
时,![](http://img.wesiedu.com/upload/7/ac/7ace28010674bee120887bfadaee092e.png)
故所求函数的值域为
。
例15. 求函数
的值域。
解:由
,可得![](http://img.wesiedu.com/upload/c/25/c254e312868b79706ad8d8ce9a44f634.png)
故可令![](http://img.wesiedu.com/upload/5/56/55600d7615a7519b9155da652c16430c.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/d/e5/de5743a1e3bfdbf793c6778a270c437e.png)
∵![](http://img.wesiedu.com/upload/7/f9/7f905ead98b7d1a8edca1fee0de22d05.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/2/02/2024b86edaaaddfc5a0fdfaf36bdfcf0.png)
当
时,![](http://img.wesiedu.com/upload/d/b5/db52c204319006c3245c56f97aaac9d4.png)
当
时,![](http://img.wesiedu.com/upload/0/66/0666291fb8fcc51c2d037d38234e746a.png)
故所求函数的值域为:![](http://img.wesiedu.com/upload/e/dc/edc4896d12b1cc86a74377bd6789e243.png)
8. 数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这类题目若运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目。
例16. 求函数
的值域。
![](http://img.wesiedu.com/upload/f/a3/fa34c36810c5583a7d5e69fb70ce87a4.jpg)
解:原函数可化简得:![](http://img.wesiedu.com/upload/f/06/f06658e6d8ca50fda3c2c226fa83c5c9.png)
上式可以看成数轴上点P(x)到定点A(2),
间的距离之和。
由上图可知,当点P在线段AB上时,![](http://img.wesiedu.com/upload/5/4b/54b2e9db041286cb887145c1d0f79758.png)
当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时,![](http://img.wesiedu.com/upload/f/42/f42725a50398c275bf5b663aef9151b5.png)
故所求函数的值域为:![](http://img.wesiedu.com/upload/d/7d/d7d3bea400a126684c6e7e637eb32310.png)
例17. 求函数
的值域。
解:原函数可变形为:
![](http://img.wesiedu.com/upload/a/44/a44fdbf28996f17febcdef272927c141.png)
上式可看成x轴上的点
到两定点
的距离之和,
由图可知当点P为线段与x轴的交点时,
,
故所求函数的值域为![](http://img.wesiedu.com/upload/1/4c/14c1d9829809bfb57b11496f0fcab166.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/1/c4/1c4622c5ca55eb0a214801807e187867.jpg)
例18. 求函数
的值域。
解:将函数变形为:![](http://img.wesiedu.com/upload/0/d3/0d32b6d37117bd65859cb9c70e4b809a.png)
上式可看成定点A(3,2)到点P(x,0)的距离与定点
到点
的距离之差。
即:![](http://img.wesiedu.com/upload/1/87/187c61d45540e450cde445a83c60de71.png)
由图可知:(1)当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时,如点
,则构成
,根据三角形两边之差小于第三边,有![](http://img.wesiedu.com/upload/d/2f/d2f828ca4407105ddaaf758a844e5ad9.png)
即:![](http://img.wesiedu.com/upload/5/d5/5d566c288e2a87b6cff44d37d72f0c4f.png)
(2)当点P恰好为直线AB与x轴的交点时,有![](http://img.wesiedu.com/upload/9/09/90932cb10815d3585e4f75ce2a6e124d.png)
综上所述,可知函数的值域为:![](http://img.wesiedu.com/upload/7/d6/7d6900c5969babbe1ab1dcf65963096d.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/2/41/241c2587568735545b1438c450203f3a.jpg)
注:由例17,18可知,求两距离之和时,要将函数式变形,使A、B两点在x轴的两侧,而求两距离之差时,则要使A,B两点在x轴的同侧。
如:例17的A,B两点坐标分别为:(3,2),
,在x轴的同侧;例18的A,B两点坐标分别为(3,2),
,在x轴的同侧。
9. 不等式法
利用基本不等式![](http://img.wesiedu.com/upload/1/b6/1b6317eae6764aa4253dbf11fe106291.png)
,求函数的最值,其题型特征解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
例19. 求函数
的值域。
解:原函数变形为:
![](http://img.wesiedu.com/upload/f/b8/fb86d54cf310bfc8841587f8814b4903.png)
当且仅当![](http://img.wesiedu.com/upload/0/61/061f90a68b9e2439499dc8a2a8deb96e.png)
即当
时
,等号成立
故原函数的值域为:![](http://img.wesiedu.com/upload/d/5c/d5c1aaaa66e26558800dbcd077726559.png)
例20. 求函数
的值域。
解:![](http://img.wesiedu.com/upload/e/53/e53612a9b35a733c59fc057b475f6b37.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/a/f8/af875837c764a70ba34e2b264d509b4d.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/9/30/930e1ddbdc540f7bde0b57258978cbf1.png)
当且仅当
,即当
时,等号成立。
由
可得:![](http://img.wesiedu.com/upload/0/7d/07d3db12e31d2834c864862140b15c13.png)
故原函数的值域为:![](http://img.wesiedu.com/upload/0/b7/0b74e0f3ebd9aac8a1bd61d4c33aa84a.png)
10. 一一映射法
原理:因为
在定义域上x与y是一一对应的。故两个变量中,若知道一个变量范围,就可以求另一个变量范围。
例21. 求函数
的值域。
解:∵定义域为![](http://img.wesiedu.com/upload/2/ef/2ef10d17d5571dbeb03f34b4481a16f7.png)
由
得![](http://img.wesiedu.com/upload/f/e7/fe7a44d9813de722b15cf4362e5e97a3.png)
故
或![](http://img.wesiedu.com/upload/f/66/f66fd266c937d0fba8a817916c596ce4.png)
解得![](http://img.wesiedu.com/upload/c/58/c5848c180007e8e0a48a15f14963c615.png)
故函数的值域为![](http://img.wesiedu.com/upload/a/fa/afa765f63160793bd64c61cacce435ba.png)
11. 多种方法综合运用
例22. 求函数
的值域。
解:令
,则![](http://img.wesiedu.com/upload/9/13/913e66a08f2bb54c6b68df19ad2808f8.png)
(1)当
时,
,当且仅当t=1,即
时取等号,所以![](http://img.wesiedu.com/upload/8/ef/8efecbaa84cd9be3c3a2881247b97e37.png)
(2)当t=0时,y=0。
综上所述,函数的值域为:![](http://img.wesiedu.com/upload/8/14/814385ea7beb625b9f14c54af23f53bf.png)
注:先换元,后用不等式法
例23. 求函数
的值域。
解:![](http://img.wesiedu.com/upload/e/f4/ef4a439b0474d92cd85176c49117716c.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/5/b6/5b65bc0f1a2df281acd3e24db98d3ced.png)
令
,则![](http://img.wesiedu.com/upload/4/1c/41c7eb878bdddf1b1ecff5e708017e56.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/0/0e/00efd73c107a36269dea3fe99b5fb8af.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/9/e8/9e836076626b4d023b0b14bb3fd87da2.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/9/b0/9b05bd3a54f1dc7e5cc3365bc206c23d.png)
∴当
时,![](http://img.wesiedu.com/upload/d/f6/df6f73cf04c5d542e96a8e7fd4563b84.png)
当
时,![](http://img.wesiedu.com/upload/a/33/a339399dedb5de8b744edb055b79f931.png)
此时
都存在,故函数的值域为![](http://img.wesiedu.com/upload/a/13/a13adb622612527ec78ec2628f921045.png)
注:此题先用换元法,后用配方法,然后再运用
的有界性。
总之,在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再选择恰当的方法,一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法。
http://blog.luohuedu.net/blog/119052.aspx
解题过程:
求函数值域的方法归类
在函数的三要素中,定义域和值域起决定作用,而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域,不但要重视对应法则的作用,而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域,是学生感到头痛的问题,它所涉及到的知识面广,方法灵活多样,在高考中经常出现,占有一定的地位,若方法运用适当,就能起到简化运算过程,避繁就简,事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下,供参考。
1. 观察法
对于一些简单的函数,可在定义域及函数对应关系基础上确定函数的值域,这叫观察法。
由于函数值域是对应于函数定义域的函数值集合,因此首先要考察函数结构。在此基础上,从定义域出发,逐步推断出函数的值域。
例1:求函数y=(x-3)的值域。
解:∵函数定义域为-1≤x<1,又∵≥0,x-3<0,∴y≤0,即函数值域y∈(-∞,0]。
2.反函数法
如果函数在定义域内存在反函数,而求函数值域又不易求解时,可在通过求反函数的定义域的过程中而使问题获解,叫反函数求函数值域的方法。
即由y=f(x),反解出求函数x=f(x),原函数值域包含在f(y)的定义域中。然后分析二者的关系以确定函数值域。此法的成功取决于反解成立,分析正确,并注意在反解过程中保持同解性。
例2:求函数y=+,x∈(0,1]的值域。
错解一:∵y=+≥2,∴函数值域y∈[2,+∞)。
剖析:当x=(0,+∞]时,结论x=[2,+∞)才是正确的。但当x∈(0,1),这个结论就不可靠了。
错解二:y=+?圳x-2yx+4=0,
∵x∈R,∴△4y-16≥0,解得y≤-2或y≥2。
函数值域为(-∞,-2]∪[2,+∞)。
剖析:以上求出的结果,只能是x∈(-∞,0)∪(0,+∞)时函数的值域,解法二同样忽略了0≤x≤1了这一限制条件,而x∈(0,1]的值域用“判别式法”是无法解决的。
正解:(反函数法)y=+?圳x-2yx+4=0,
∵x∈(0,1],y≥2,∴y+≥2(1),∴方程(1)的根只能是x=y-,由0<y-≤1,解得y≥,∴函数值域为[,+∞)。
3.转化法
利用已知值域的函数或所给函数的定义域,作为“媒介”,将待求值域的函数式变形。通过适当的运算,求得所给函数的值域。将所求函数值域问题转化为熟知的基本初等函数的值域问题,常能化难为易。
例3:求函数y=的值域。
解:由函数表达式得:2sinx+ycosx=3-y?圳sin(x+θ)=3-y,其中θ由sinθ和cosθ=确定。
∵|sin(x+θ)|≤1,∴()≥(3-y)?圳y≥,即原函数值域y∈[,+∞)。
4.不等式法
运用不等式的性质,特别是含等量的不等式,分析等号成立的条件,以确定函数值域,叫不等式求函数值域的方法。
例4:已知α∈(0,π),求函数y=sinα+的值域。
错解:∵α∈(0,π),∴sinα>0,>0,sinα+≥2=2,函数值域为[2,+∞)。
剖析:由于忽略了“当且仅当sinα+时上式才能取等号”,但因|sinα|≤1故sinα≠,因此上式不能取等号,至少应有y≠2。
正解:∵α∈(0,π),∴sinα>0,>0,sinα+=sinα++≥3≥3。
当且仅当sinα=,即sinα=1时,上式能全取等号。
小结:用“不等式法”求函数值域,主要是利用“几个正数的算术平均值不小于其几何平均值”,但须注意取等号时条件是否能得到满足。
5.最值法
由于初等函数在其定义域内是连续的,所以我们可以通过求函数在定义区间内的最大值,最小值的办法,并求函数的值域。
例5:求函数y=的值域。
解:由函数定义域知,cosx∈[-1,-)∪(-,1]。
(1)当cosx∈[-1,-)时,∵y=x+=1-(-1),∴()=-1,注意到cosx?邛(-),y?邛-∞∴-∞<y≤-1。
(2)当cosx∈(-,1]时,∵(1+2cosx))=-1,∴()=,注意到cosx?邛(-),y?邛+∞,∴≤y<+∞。
故函数值域为(-∞,-1]∪[,+∞).
一般二次函数的值域常用此法求解。有些高次整函数也可用此法。
6.判别式
根据一元二次方程ax+by+c=0有实根时,△=b-4ac≥0。的性质,求函数值域的方法叫做判别式法。
例6:求函数y=2x-7x+3的值域。
解:∵2x-7x+3-y=0,且x∈R,∴△=b-4ac=49-8(3-y)≥0,y≥,∴该函数值域为[,+∞).
此法可用于行如:y=(A,P不同时为零,分子分母无公因式)的函数的值域。但必须强调:(1)是既约公式;(2)验证端点值是否能取到;(3)整理成行如一元二次方程的形式后,若平方项系数含字母要讨论;(4)若定义域人为受限,则判别式法失效。
7.换元法
通过代数换元法或者三角函数换元法,把无理函数、指数函数、对数函数等超越函数转化为代数函数求函数值域的方法叫换元法。
例7:已知函数f(x)的值域是[,],求y=f(x)+的值域。
解:∵f(x)∈[,],∴≤f(x)≤,故≤≤。令t=,则t∈[,]。有f(x)=(1-t),y=g(t)=(1-t)+t=-(t-1)+1,由于g(t)在t∈[,]时单调递增
∴当t=,y=,当t=,y=,
∴y=f(x)+的值域是[,].
8.图像法(数行结合法)
通过分析函数式的结构、定义域、单调性、奇偶性、极值等。确定若干有代表性的点,勾画出函数的大致图形,从而确定函数的值域。
例8:求函数y=|x-1|+x的值域。
解:原函数可以表达成:当x≤-1或x≥1,y=|x-1|+x=(x+2)-;当-1≤x≤1,y=|x-1|+x=-(x+)+。
作出函数图像(见图1)
由图像知函数值域为[-1,+∞)。
9.单调性法
利用函数单调性,先求出函数的单调区间,再求每个区间上函数的值域,最后取其并集即得函数值域。
例9:求y=x-的值域。
解:∵y=x和y=-均为单调增函数,
∴y=y+y=x-为增函数,由定义域x≤知y=,故y≤.
10.配方法
如果给定一个复合函数,y=f[g(x)],若g(x)或f(x)可以视为一元二次多项式,则要用配方法求其函数值域。
例10:求y=x+的值域。
解:∵y=x+=1-(-1),在定义域x≤内,显然有(-1)≥0,∴y≤1,函数值域为(-∞,1]。
十一.利用多项式的除法
例5求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域。
点拨:将原分式函数,利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。
解:y=(3x+2)/(x+1)=3-1/(x+1)。
∵1/(x+1)≠0,故y≠3。
∴函数y的值域为y≠3的一切实数。
点评:对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法。
练习:求函数y=(x2-1)/(x-1)(x≠1)的值域。(答案:y≠2)
本文仅从求函数值域的十种常用方法谈起,在不同的文献中可能会有与本文有出入的其它不同的方法,但解法大致相同,如构造法、极限法、解析法、复数换元法、三角代换法、恒等变换法、有理化法等。当然,本论文求函数值域的方法不是一成不变的,应在多次解题过程中综合并灵活应用这几种方法。
http://www.qikan120.com/qydtInfo.asp?Articleid=42080
2. 配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例3. 求函数
![](http://img.wesiedu.com/upload/8/88/8880b0fb9ebdcf0fc6b40ae221ea5955.png)
解:将函数配方得:
![](http://img.wesiedu.com/upload/c/a2/ca2db405d7a63ae7d3816cfa06bf3cdd.png)
∵
![](http://img.wesiedu.com/upload/f/29/f29da4de8918b31a036475388ff30c3d.png)
由二次函数的性质可知:当x=1时,
![](http://img.wesiedu.com/upload/1/79/179d62ae9cb3b3275a0c45af3c0c093c.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/e/21/e2136f69e4ec7be295f2ebb9d5de88aa.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/9/c0/9c0c9ff4fe5a0d44dc65525f737d6cdc.png)
故函数的值域是:[4,8]
3. 判别式法
例4. 求函数
![](http://img.wesiedu.com/upload/9/21/92178d8ec44942b4ffd71d9da58a1ccc.png)
解:原函数化为关于x的一元二次方程
![](http://img.wesiedu.com/upload/f/8d/f8db6a9184b25ca6c6d3e56da43fbd22.png)
(1)当
![](http://img.wesiedu.com/upload/f/a0/fa0d7f89b09063f9eb644d4f1afb2166.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/1/b8/1b848036e8cc8d90add62729436dfd21.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/9/d9/9d980351fd1884b0c2b0514e57d64c22.png)
解得:
![](http://img.wesiedu.com/upload/9/e6/9e619467628e22087279724150687bec.png)
(2)当y=1时,
![](http://img.wesiedu.com/upload/a/3c/a3c7e789b732b700072107f7b6930bd8.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/c/70/c703fdf311ae09c778239f051f6927b1.png)
故函数的值域为
![](http://img.wesiedu.com/upload/0/0e/00e8d9c760fb20c9122afcd8535daf05.png)
例5. 求函数
![](http://img.wesiedu.com/upload/3/b4/3b4698652ee533fb5d6ed3c39a10a73f.png)
解:两边平方整理得:
![](http://img.wesiedu.com/upload/6/65/665a1235952f35c6ef1961cec5e3672c.png)
∵
![](http://img.wesiedu.com/upload/1/b8/1b848036e8cc8d90add62729436dfd21.png)
∴
![](http://img.wesiedu.com/upload/6/c4/6c44a6b62410b0873b1a514184385708.png)
解得:
![](http://img.wesiedu.com/upload/4/54/4541fbe669c7cc7931a8681381a8a8ce.png)
但此时的函数的定义域由
![](http://img.wesiedu.com/upload/f/6f/f6f4479f8574a9da55283fb844d66dc4.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/4/15/415ddfaf48bc04ae30ad15a3810e4682.png)
由
![](http://img.wesiedu.com/upload/7/cb/7cb2a9ab994bf7660a74698bec3fec87.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/6/65/665a1235952f35c6ef1961cec5e3672c.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/7/cb/7cb2a9ab994bf7660a74698bec3fec87.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/0/0e/00e8d9c760fb20c9122afcd8535daf05.png)
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
∵
![](http://img.wesiedu.com/upload/4/15/415ddfaf48bc04ae30ad15a3810e4682.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/2/07/2075cd396b0087cb9071214c52124900.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/d/78/d785f5974430c97925e20c1fbd252ece.png)
解得:
![](http://img.wesiedu.com/upload/d/9f/d9f3d0b43420e735b64ce8366e2e87e4.png)
即当
![](http://img.wesiedu.com/upload/8/ae/8aea3d0a1d97dd17b8eb3c9e1ebf2042.png)
原函数的值域为:
![](http://img.wesiedu.com/upload/5/f1/5f16a5ee6931a8d729195d478a88a1f7.png)
注:由判别式法来判断函数的值域时,若原函数的定义域不是实数集时,应综合函数的定义域,将扩大的部分剔除。
4. 反函数法
直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
例6. 求函数
![](http://img.wesiedu.com/upload/8/e2/8e2d082b688bae1ed595809300304768.png)
解:由原函数式可得:
![](http://img.wesiedu.com/upload/6/2a/62aae6babb6ba86fcd39b93dcc56c185.png)
则其反函数为:
![](http://img.wesiedu.com/upload/5/e5/5e549787210756e7573df6a21ec274a5.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/f/d4/fd4647a2a46abcd576f7a486d3052f11.png)
故所求函数的值域为:
![](http://img.wesiedu.com/upload/c/a5/ca568d33f7f4de95097b7e258b1b20af.png)
5. 函数有界性法
直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,反客为主来确定函数的值域。
例7. 求函数
![](http://img.wesiedu.com/upload/7/8a/78ae55411c2e63767ac78ae727e0f3bb.png)
解:由原函数式可得:
![](http://img.wesiedu.com/upload/f/ac/facea4bb0c715380bfd0bd4595ebb537.png)
∵
![](http://img.wesiedu.com/upload/2/25/2250905483a4474bf79dd46cac684471.png)
∴
![](http://img.wesiedu.com/upload/f/fc/ffc0416cff16d2de9e29b91732d180c7.png)
解得:
![](http://img.wesiedu.com/upload/8/0a/80a2879e4f030c3c82c1f5d1ab903368.png)
故所求函数的值域为
![](http://img.wesiedu.com/upload/e/d0/ed0b5f4f02e103d277b23d5418637cb8.png)
例8. 求函数
![](http://img.wesiedu.com/upload/9/d5/9d5db6702118be31d02b52525493bf1c.png)
解:由原函数式可得:
![](http://img.wesiedu.com/upload/1/c2/1c2f39bafbefa00cc2850272e1ca7ad9.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/5/3d/53d5223f8cec5f7c75f2db8cda8bc58b.png)
即
![](http://img.wesiedu.com/upload/2/27/22728b4a38da302a38afc62bef9b64f2.png)
∵
![](http://img.wesiedu.com/upload/1/b8/1b848036e8cc8d90add62729436dfd21.png)
∴
![](http://img.wesiedu.com/upload/d/07/d07a43292c18220d213f686c7bc35b93.png)
即
![](http://img.wesiedu.com/upload/f/fb/ffb97fd15501762374975e5140e35fc8.png)
解得:
![](http://img.wesiedu.com/upload/3/30/33035da7c62acdb901faa422a55233e0.png)
故函数的值域为
![](http://img.wesiedu.com/upload/e/ac/eacc51a8cf564154ecbf26e77d2acd75.png)
6. 函数单调性法
例9. 求函数
![](http://img.wesiedu.com/upload/7/a7/7a72923e5570cde8600d1238f302b7f9.png)
解:令
![](http://img.wesiedu.com/upload/e/39/e397c4adcd6e717ad8ec9f7442828101.png)
则
![](http://img.wesiedu.com/upload/3/9a/39adf6a6c8ebf788b1858fa2d0018f3e.png)
所以
![](http://img.wesiedu.com/upload/a/91/a91ee00c8ff174ed52d64ecf3570d854.png)
当x=2时,
![](http://img.wesiedu.com/upload/d/fb/dfb9ce99178530c7fed23e45c7068a8f.png)
当x=10时,
![](http://img.wesiedu.com/upload/3/ee/3ee31b7590cbf0dd0d18f9b8eb910ce9.png)
故所求函数的值域为:
![](http://img.wesiedu.com/upload/3/86/3860d345e638a2d48d91c18bc24162a6.png)
例10. 求函数
![](http://img.wesiedu.com/upload/6/09/6094647b65bda5a130190efd566e0556.png)
解:原函数可化为:
![](http://img.wesiedu.com/upload/d/41/d41b2759677a928bb7219f3cec234466.png)
令
![](http://img.wesiedu.com/upload/0/f0/0f01fc560797da13860754d83a926315.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/3/9a/39adf6a6c8ebf788b1858fa2d0018f3e.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/3/3a/33a3d01de045563d00080eb31f4f1788.png)
所以
![](http://img.wesiedu.com/upload/0/01/001a49ff41c66c6011e1f52b94cab134.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/a/33/a33ca1a5058af87ea92140adebb3371a.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/3/3a/33a3d01de045563d00080eb31f4f1788.png)
所以当x=1时,
![](http://img.wesiedu.com/upload/a/91/a91ee00c8ff174ed52d64ecf3570d854.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/8/35/835cd3fbf08cf3096cd019bd16f10a24.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/f/95/f950fbf26ca625911e30776b24b35f37.png)
显然
![](http://img.wesiedu.com/upload/4/70/470853ee71226614388418ef0c25e61f.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/a/12/a121c788d9f745ead0092706cc079701.png)
7. 换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型,换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发挥作用。
例11. 求函数
![](http://img.wesiedu.com/upload/2/f8/2f8c9ff0a08d346baf2835963f1ba229.png)
解:令
![](http://img.wesiedu.com/upload/6/70/6709a194038285e1b4d2654a4a25e38d.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/3/ac/3ac1ec08e5fd5045c69014afc00d49ce.png)
则
![](http://img.wesiedu.com/upload/0/bb/0bbb5c833c21cff9a8768613c5a2a4eb.png)
∵
![](http://img.wesiedu.com/upload/b/b0/bb009433600f32d9403e139cd5b3ab5b.png)
又
![](http://img.wesiedu.com/upload/7/fc/7fc4b28c37f92c0aa51805fafaccc3dd.png)
当
![](http://img.wesiedu.com/upload/7/c9/7c961af06812adf0ca12ebb018f78130.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/c/00/c00de02f5667d72b47f83aae98ec01e2.png)
当
![](http://img.wesiedu.com/upload/5/6f/56fbab6f876b1cd67e89206295d959bf.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/3/36/336b81a6ae2eb7c1f9117a1b5b5fe1d0.png)
故函数的值域为
![](http://img.wesiedu.com/upload/c/96/c9686547acaa7f7d2649c1bc0388d010.png)
例12. 求函数
![](http://img.wesiedu.com/upload/d/81/d81c3b665c1ffd1187ecdd92f2b3f38e.png)
解:因
![](http://img.wesiedu.com/upload/5/87/5873ec0b42291b3fbb422d42939b11b3.png)
即
![](http://img.wesiedu.com/upload/7/f9/7f98e10d365c8333fd94cd86d9882461.png)
故可令
![](http://img.wesiedu.com/upload/7/c7/7c714596262eaef67acd750f09cdb357.png)
∴
![](http://img.wesiedu.com/upload/f/bf/fbfd071082cf557792634afe9bab6338.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/c/7d/c7de7782fa7a244585bfba31bd7ce196.png)
∵
![](http://img.wesiedu.com/upload/a/19/a19173dce5d375483d0316fc60fa77f1.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/1/f8/1f8dc8ac2a60eee44d52d1ddc62ee897.png)
故所求函数的值域为
![](http://img.wesiedu.com/upload/5/f1/5f16a5ee6931a8d729195d478a88a1f7.png)
例13. 求函数
![](http://img.wesiedu.com/upload/5/92/5925f6b589dfb90c246273ea55a62424.png)
解:原函数可变形为:
![](http://img.wesiedu.com/upload/c/5b/c5bcf77458932558584d1f93010e5b43.png)
可令
![](http://img.wesiedu.com/upload/3/66/36677dc7964c7ad92134a1410907f1b4.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/c/13/c13a05195d86a058a80bd42d0b96b268.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/e/32/e3224a585cbe75fcb0cee5fad8e4f0c7.png)
当
![](http://img.wesiedu.com/upload/7/d7/7d73805b01f5bee764d87863d123302b.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/1/21/1218ccf1e5bbb8c5a23691f0b2750e2e.png)
当
![](http://img.wesiedu.com/upload/8/9a/89a4e5f3134824cc2109534b9b408d9f.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/a/ec/aec506d8f3ae40c8cfe3aff6423a5487.png)
而此时
![](http://img.wesiedu.com/upload/8/03/8032ce7265f0435ca2a5aa99a4ae620e.png)
故所求函数的值域为
![](http://img.wesiedu.com/upload/5/88/588da8dc132a8279458fa965d33dce1c.png)
例14. 求函数
![](http://img.wesiedu.com/upload/0/87/08768492fbeff455571df199ad8aa590.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/d/09/d0913520f18e3221cd9343b861e6c2ea.png)
解:
![](http://img.wesiedu.com/upload/0/87/08768492fbeff455571df199ad8aa590.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/0/94/094846e2171691ce2338dda693fb9235.png)
令
![](http://img.wesiedu.com/upload/3/d4/3d4497709aa31338df9fb0f726113656.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/0/bd/0bd306c8eb7553010dfc9165a1e25e02.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/c/3d/c3d8021f106ac29fd850bb37784780f9.png)
由
![](http://img.wesiedu.com/upload/d/ba/dba182b8deab4f8a8afa722fc12cecaf.png)
且
![](http://img.wesiedu.com/upload/9/7d/97d0602825f5d965a6d7188dffd1ba32.png)
可得:
![](http://img.wesiedu.com/upload/0/2b/02b000487fb279e2cca0a21fa71131be.png)
∴当
![](http://img.wesiedu.com/upload/1/ab/1ab0afd4d2dde9cffe43162bc30038dd.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/f/21/f21c4417c2403fc1e06b666dc3368951.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/c/a5/ca5250ab250e722f9b0191e42e45e049.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/7/ac/7ace28010674bee120887bfadaee092e.png)
故所求函数的值域为
![](http://img.wesiedu.com/upload/8/3d/83d701495ef76dfcbf50e3442ad46299.png)
例15. 求函数
![](http://img.wesiedu.com/upload/4/0d/40d509582af32962a2e10ff2fe96a3ca.png)
解:由
![](http://img.wesiedu.com/upload/6/78/678a0d56ed5f86841247c2b39474ce04.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/c/25/c254e312868b79706ad8d8ce9a44f634.png)
故可令
![](http://img.wesiedu.com/upload/5/56/55600d7615a7519b9155da652c16430c.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/d/e5/de5743a1e3bfdbf793c6778a270c437e.png)
∵
![](http://img.wesiedu.com/upload/7/f9/7f905ead98b7d1a8edca1fee0de22d05.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/2/02/2024b86edaaaddfc5a0fdfaf36bdfcf0.png)
当
![](http://img.wesiedu.com/upload/6/07/60754ea15096c7ae6b8feac9d3e089c6.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/d/b5/db52c204319006c3245c56f97aaac9d4.png)
当
![](http://img.wesiedu.com/upload/4/8c/48cf4598fd0becb6d2e0795821449437.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/0/66/0666291fb8fcc51c2d037d38234e746a.png)
故所求函数的值域为:
![](http://img.wesiedu.com/upload/e/dc/edc4896d12b1cc86a74377bd6789e243.png)
8. 数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这类题目若运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目。
例16. 求函数
![](http://img.wesiedu.com/upload/6/84/68488d6b45aa71460e56527fca6fe2fe.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/f/a3/fa34c36810c5583a7d5e69fb70ce87a4.jpg)
解:原函数可化简得:
![](http://img.wesiedu.com/upload/f/06/f06658e6d8ca50fda3c2c226fa83c5c9.png)
上式可以看成数轴上点P(x)到定点A(2),
![](http://img.wesiedu.com/upload/3/75/3752bce0b383dbb08e8436da1a985f15.png)
由上图可知,当点P在线段AB上时,
![](http://img.wesiedu.com/upload/5/4b/54b2e9db041286cb887145c1d0f79758.png)
当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时,
![](http://img.wesiedu.com/upload/f/42/f42725a50398c275bf5b663aef9151b5.png)
故所求函数的值域为:
![](http://img.wesiedu.com/upload/d/7d/d7d3bea400a126684c6e7e637eb32310.png)
例17. 求函数
![](http://img.wesiedu.com/upload/6/54/6543f9ff05d8cc12b6b31e508dfc843d.png)
解:原函数可变形为:
![](http://img.wesiedu.com/upload/a/44/a44fdbf28996f17febcdef272927c141.png)
上式可看成x轴上的点
![](http://img.wesiedu.com/upload/9/bb/9bbadc0bb1b230765821a6b1d852fa8b.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/1/c0/1c035b0ef3ac7afb4e766d034f28e8f6.png)
由图可知当点P为线段与x轴的交点时,
![](http://img.wesiedu.com/upload/5/88/588bd81a0f7876c12cd4ad71ba2e6f47.png)
故所求函数的值域为
![](http://img.wesiedu.com/upload/1/4c/14c1d9829809bfb57b11496f0fcab166.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/1/c4/1c4622c5ca55eb0a214801807e187867.jpg)
例18. 求函数
![](http://img.wesiedu.com/upload/c/92/c9215ce46ef9efa2f14bcca19e90e73e.png)
解:将函数变形为:
![](http://img.wesiedu.com/upload/0/d3/0d32b6d37117bd65859cb9c70e4b809a.png)
上式可看成定点A(3,2)到点P(x,0)的距离与定点
![](http://img.wesiedu.com/upload/d/4d/d4dc20b7e94b41c38171571906c6d5cf.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/9/bb/9bbadc0bb1b230765821a6b1d852fa8b.png)
即:
![](http://img.wesiedu.com/upload/1/87/187c61d45540e450cde445a83c60de71.png)
由图可知:(1)当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时,如点
![](http://img.wesiedu.com/upload/c/f9/cf93ae3cf850a9e63e7657379d8c453e.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/c/14/c14b5cb70299169e286823aaeed1dc20.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/d/2f/d2f828ca4407105ddaaf758a844e5ad9.png)
即:
![](http://img.wesiedu.com/upload/5/d5/5d566c288e2a87b6cff44d37d72f0c4f.png)
(2)当点P恰好为直线AB与x轴的交点时,有
![](http://img.wesiedu.com/upload/9/09/90932cb10815d3585e4f75ce2a6e124d.png)
综上所述,可知函数的值域为:
![](http://img.wesiedu.com/upload/7/d6/7d6900c5969babbe1ab1dcf65963096d.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/2/41/241c2587568735545b1438c450203f3a.jpg)
注:由例17,18可知,求两距离之和时,要将函数式变形,使A、B两点在x轴的两侧,而求两距离之差时,则要使A,B两点在x轴的同侧。
如:例17的A,B两点坐标分别为:(3,2),
![](http://img.wesiedu.com/upload/f/c6/fc63ab64dd70fe838ff96654c3b3f1a7.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/0/9d/09d9a843866153fa5280b4e70d79db91.png)
9. 不等式法
利用基本不等式
![](http://img.wesiedu.com/upload/1/b6/1b6317eae6764aa4253dbf11fe106291.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/6/33/633313695fc50264736f36674f4a1fbe.png)
例19. 求函数
![](http://img.wesiedu.com/upload/1/c1/1c17005195c5814dd1bad3d47beaf9df.png)
解:原函数变形为:
![](http://img.wesiedu.com/upload/f/b8/fb86d54cf310bfc8841587f8814b4903.png)
当且仅当
![](http://img.wesiedu.com/upload/0/61/061f90a68b9e2439499dc8a2a8deb96e.png)
即当
![](http://img.wesiedu.com/upload/0/d7/0d7deacb51d61f3266e89ce7e7a20976.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/0/7e/07e3292a9c6caff416fe5c637650a8d4.png)
故原函数的值域为:
![](http://img.wesiedu.com/upload/d/5c/d5c1aaaa66e26558800dbcd077726559.png)
例20. 求函数
![](http://img.wesiedu.com/upload/4/f2/4f2ef3f938dcbd153b5302e4e2235710.png)
解:
![](http://img.wesiedu.com/upload/e/53/e53612a9b35a733c59fc057b475f6b37.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/a/f8/af875837c764a70ba34e2b264d509b4d.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/9/30/930e1ddbdc540f7bde0b57258978cbf1.png)
当且仅当
![](http://img.wesiedu.com/upload/8/da/8da1f5b674fbc87d1d6e74af65805a64.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/d/38/d3819b69c568fd5c2442e4206e87a83b.png)
由
![](http://img.wesiedu.com/upload/4/d2/4d232e4fbc81f7811f3d52908ab27b15.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/0/7d/07d3db12e31d2834c864862140b15c13.png)
故原函数的值域为:
![](http://img.wesiedu.com/upload/0/b7/0b74e0f3ebd9aac8a1bd61d4c33aa84a.png)
10. 一一映射法
原理:因为
![](http://img.wesiedu.com/upload/0/76/076b8f16360d0dc05d04a6407d3c6ec1.png)
例21. 求函数
![](http://img.wesiedu.com/upload/c/0c/c0cfef495d9670d89e0eedbf490e98c8.png)
解:∵定义域为
![](http://img.wesiedu.com/upload/2/ef/2ef10d17d5571dbeb03f34b4481a16f7.png)
由
![](http://img.wesiedu.com/upload/c/0c/c0cfef495d9670d89e0eedbf490e98c8.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/f/e7/fe7a44d9813de722b15cf4362e5e97a3.png)
故
![](http://img.wesiedu.com/upload/2/cc/2cc23d10c66ec885207fb93ce3cea0ba.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/f/66/f66fd266c937d0fba8a817916c596ce4.png)
解得
![](http://img.wesiedu.com/upload/c/58/c5848c180007e8e0a48a15f14963c615.png)
故函数的值域为
![](http://img.wesiedu.com/upload/a/fa/afa765f63160793bd64c61cacce435ba.png)
11. 多种方法综合运用
例22. 求函数
![](http://img.wesiedu.com/upload/c/fc/cfcd789831e047813e12e86ad21807b7.png)
解:令
![](http://img.wesiedu.com/upload/b/36/b36559cc7e1c3fa80e53a2e34db47c0f.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/9/13/913e66a08f2bb54c6b68df19ad2808f8.png)
(1)当
![](http://img.wesiedu.com/upload/0/80/080ffafc330a2e511609015c02b7d19d.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/8/14/8146f5f6ead0887cff4ef48e56a3e82f.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/e/21/e2136f69e4ec7be295f2ebb9d5de88aa.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/8/ef/8efecbaa84cd9be3c3a2881247b97e37.png)
(2)当t=0时,y=0。
综上所述,函数的值域为:
![](http://img.wesiedu.com/upload/8/14/814385ea7beb625b9f14c54af23f53bf.png)
注:先换元,后用不等式法
例23. 求函数
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解:
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令
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∴当
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当
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此时
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注:此题先用换元法,后用配方法,然后再运用
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总之,在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再选择恰当的方法,一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法。
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