作业帮证明几何级数和调和级数的收敛和发散性
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/05 17:35:58
证明几何级数和调和级数的收敛和发散性
级数咋这么难呢?
级数咋这么难呢?
先看调和级数：
证明如下:
由于ln(1+1/n)<1/n （n=1,2,3,…）
于是调和级数的前n项部分和满足
Sn=1+1/2+1/3+…+1/n>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)
=ln2+ln(3/2)+ln(4/3)+…+ln[(n+1)/n]
=ln[2*3/2*4/3*…*(n+1)/n]=ln(n+1)
由于
lim Sn（n→∞）≥lim ln(n+1)（n→∞）=+∞
根据比较审敛法：小的发散,大的肯定发散.
所以Sn的极限不存在,调和级数发散.
置于几何级数看图片吧,太难输了.
证明如下:
由于ln(1+1/n)<1/n （n=1,2,3,…）
于是调和级数的前n项部分和满足
Sn=1+1/2+1/3+…+1/n>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)
=ln2+ln(3/2)+ln(4/3)+…+ln[(n+1)/n]
=ln[2*3/2*4/3*…*(n+1)/n]=ln(n+1)
由于
lim Sn（n→∞）≥lim ln(n+1)（n→∞）=+∞
根据比较审敛法：小的发散,大的肯定发散.
所以Sn的极限不存在,调和级数发散.
置于几何级数看图片吧,太难输了.