作业帮如图；已知P是平行四边形ABCD所在平面外的一点,E,F分别是PA,BD上的点且PE:EA=BF:FD ,求证:EF//
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/15 04:04:32
如图；已知P是平行四边形ABCD所在平面外的一点,E,F分别是PA,BD上的点且PE:EA=BF:FD ,求证:EF//平面PBC.
证明一：连接AF,延长AF,交BC于点G,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∴∠DAF=∠BGF,
在△ADF和△GBF中,
∠DAF=∠BGF（已证）,
∠AFD=∠GFB（对顶角相等）,
∴ △AFD∽ △GFB（∽是相似符号）,
∴BF：GF=FD：FA,
∴BF：FD=GF：FA,
又∵BF：FD=PE：EA（已知）,
∴GF：FA=PE：EA（等式传递性）,
在△APG中,
GF：FA=PE：EA,
∴ △AEF∽ △APG,
∴∠AEF=∠APG,
∴EF∥PG,
∴EF∥平面PBC.
命题得证
证明二：
过点F做GH∥BC,交AB于点G,交CD于H,
连接EG,EH,
∵GH∥BC,
∴FG∥AD,
∴BG：GA=BF：FD=PE：EA,
∴EG∥PB,
又∵GH∥AB,
∴面EGH∥面PBC,
∵EF是面EGH上的直线,
∴EF∥面PBC.
命题得证
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∴∠DAF=∠BGF,
在△ADF和△GBF中,
∠DAF=∠BGF（已证）,
∠AFD=∠GFB（对顶角相等）,
∴ △AFD∽ △GFB（∽是相似符号）,
∴BF：GF=FD：FA,
∴BF：FD=GF：FA,
又∵BF：FD=PE：EA（已知）,
∴GF：FA=PE：EA（等式传递性）,
在△APG中,
GF：FA=PE：EA,
∴ △AEF∽ △APG,
∴∠AEF=∠APG,
∴EF∥PG,
∴EF∥平面PBC.
命题得证
证明二：
过点F做GH∥BC,交AB于点G,交CD于H,
连接EG,EH,
∵GH∥BC,
∴FG∥AD,
∴BG：GA=BF：FD=PE：EA,
∴EG∥PB,
又∵GH∥AB,
∴面EGH∥面PBC,
∵EF是面EGH上的直线,
∴EF∥面PBC.
命题得证
如图,已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点,E,F分别是PA,BD上的点且PE:EA=BF:FD 求证EF//平面
如图,已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点,E,F分别是PA,BD上的点且PE:EA=BF:FD
如图；已知P是平行四边形ABCD所在平面外的一点,E,F分别是PA,BD上的点且PE:EA=BF:FD ,求证:EF//
如图所示,P是平行四边形ABCD所在平面外一点,E,F分别在PA,BD上,且PE:EA=BF:FD,求证:EF‖面PBC
如图，已知平行四边形ABCD所在平面外一点P，E、F分别是AB，PC的中点．求证：EF∥平面PAD．
如图,点P是正方形ABCD对角线BD上的一点,PE垂直BC,PF垂直CD,垂足分别为E、F.求证：AP=EF
P是正方形ABCD所在平面外一点,M,N分别是PA、BD上的点,且PM/MA=BN/ND,求证:MN//平面PBC
如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别是直线BD上的两点,且,AE∥EF,求证DE=BF
如图,已知平行四边形ABCD中E,F分别是AD,BC上的点,且AE=CF,求证EF,BD互相平分
如图,M,N分别是平行四边形ABCD中AB,CD的中点.CM,分别交BD于点E,F求证：BE=EF=FD
点P式平行四边形ABCD所在平面外一点,O是对角线AC与BD的交点,且PA=PC,PB=PD 求证PO垂直面ABCD
如图所示，S为矩形ABCD所在平面外一点，E、F分别是SD、BC上的点，且SE：ED=BF：FC，求证：EF∥平面SAB