定义在(-∞,+∞）上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且在[-1,0]上是减函数,则f(x)有哪些性质?（

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/11/08 19:37:36

定义在(-∞,+∞）上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且在[-1,0]上是减函数,则f(x)有哪些性质?（周期性,
单调性,对称性）

f(x+1)=-f(x)=-f(-x)
图像关于(1/2,0)对称
f(x+1)=-f(x)
f(x+2)=-f(x+1)=f(x)
所以 f(x)的周期是2
所以
f(x)的周期为2
f(x) 在【2k-1,2k】上是减函数,在【2k-2,2k-1】上是增函数
f(x)的图像关于x=k对称,关于(k+1/2,0)对称.
再问： f(x)的图像关于x=k对称，怎么求出来的？
再答：你想成三角函数就行了
再问：我还是不会啊,是由f(x+1)=-f(x)得到的吗？
再答：晕，偶函数，所以关于x=0对称，周期为2，所以，关于 x=2k对称 f(x+1)=-f(x) f(-x+1)=-f(-x)=-f(x) 所以 f(x+1)=f(1-x) 所以关于 x=1对称，周期为2，所以，关于 x=2k+1对称综上关于 x=k对称。