作业帮已知函数f(x)=丨sin2x丨+丨cos2x丨.求函数的定义域,值域,周期性,奇偶性,单调性.
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/10/04 03:16:29
已知函数f(x)=丨sin2x丨+丨cos2x丨.求函数的定义域,值域,周期性,奇偶性,单调性.
（1）定义域为R.
（2）f²(x)=(|sin2x|+|cos2x|)²=sin²2x+2|sin2x·cos2x|+cos²2x=1+|sin4x|,
从而 1≤f²(x)≤2
1≤f(x)≤√2
即值域为[1,√2]
（3）f(x+π/4)=|sin(2x+π/2)|+|cos(2x+π/2)|=|cos2x|+|-sin2x|=|sin2x|+|cos2x|=f(x)
从而周期为π/4．
（4）f(-x)=|sin(-2x)|+|cos(-2x)|=|-sin2x|+|cos2x|=|sin2x|+|cos2x|=f(x),f(x)为偶函数．
（5）当x∈[0,π/4]时,2x∈[0,π/2],
所以 f(x)=|sin2x|+|cos2x|=sin2x+cos2x=√2·sin(2x+π/4),
令 2kπ-π/2≤2x+π/4≤2kπ+π/2
解得 kπ-π/8≤x≤kπ+π/8,k∈Z,与[0,π/4]取公共部分,得
增区间为[0,π/8],
从而 f(x)的增区间为[k·π/4,k·π/4+π/8]
同理,减区间为[k·π/4+π/8,(k+1)·π/4],k∈Z
（2）f²(x)=(|sin2x|+|cos2x|)²=sin²2x+2|sin2x·cos2x|+cos²2x=1+|sin4x|,
从而 1≤f²(x)≤2
1≤f(x)≤√2
即值域为[1,√2]
（3）f(x+π/4)=|sin(2x+π/2)|+|cos(2x+π/2)|=|cos2x|+|-sin2x|=|sin2x|+|cos2x|=f(x)
从而周期为π/4．
（4）f(-x)=|sin(-2x)|+|cos(-2x)|=|-sin2x|+|cos2x|=|sin2x|+|cos2x|=f(x),f(x)为偶函数．
（5）当x∈[0,π/4]时,2x∈[0,π/2],
所以 f(x)=|sin2x|+|cos2x|=sin2x+cos2x=√2·sin(2x+π/4),
令 2kπ-π/2≤2x+π/4≤2kπ+π/2
解得 kπ-π/8≤x≤kπ+π/8,k∈Z,与[0,π/4]取公共部分,得
增区间为[0,π/8],
从而 f(x)的增区间为[k·π/4,k·π/4+π/8]
同理,减区间为[k·π/4+π/8,(k+1)·π/4],k∈Z
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