(2010•郑州模拟)如图所示,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)经过点A(-1,0),B(3,0
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:综合作业 时间:2024/07/05 07:46:42
(2010•郑州模拟)如图所示,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)经过点A(-1,0),B(3,0)其顶点为D,连接BD,点P是线段BD上一个动点(不与B,D重合),过点P作y轴的垂线,垂足为E连接BE.
(1)求抛物线的解析式,并写出顶点D的坐标;
(2)如果点P的坐标为(x,y),△PBE的面积为S,求S与x的函数关系式,写出自变量x的取值范围,并求出S的最大值;
(3)在(2)的条件下,当S取得最大值时,过点P作x轴的垂线,垂足为F,连接EF在这条抛物线上是否存在一点Q,使得直线EF为线段PQ的垂直平分线?若存在,请求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)求抛物线的解析式,并写出顶点D的坐标;
(2)如果点P的坐标为(x,y),△PBE的面积为S,求S与x的函数关系式,写出自变量x的取值范围,并求出S的最大值;
(3)在(2)的条件下,当S取得最大值时,过点P作x轴的垂线,垂足为F,连接EF在这条抛物线上是否存在一点Q,使得直线EF为线段PQ的垂直平分线?若存在,请求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)∵抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)经过点A(-1,0),B(3,0),
∴
0=a-b+3
0=9a+3b+3解得
a=-1
b=2,
抛物线的解析式为:y=-x2+2x+3,
∴y=-(x-1)2+4,
∴D(1,4);
(2)设BD的解析式为y=kx+b,则有
0=3k+b
4=k+b解得
k=-2
b=6,
∴BD的解析式为:y=-2x+6,
∵P的坐标为(x,y),
∴P的坐标为(x,-2x+6),
∴PE=x,
∴S=
(x+3)(-2x+6)
2-
3(-2x+6)
2,
∴S=-x2+3x (1<x<3),
S=-(x-
3
2)2+
9
4,
∴S的最大值为
9
4.
(3)不存在.
当x=
3
2时,y=-2×
∴
0=a-b+3
0=9a+3b+3解得
a=-1
b=2,
抛物线的解析式为:y=-x2+2x+3,
∴y=-(x-1)2+4,
∴D(1,4);
(2)设BD的解析式为y=kx+b,则有
0=3k+b
4=k+b解得
k=-2
b=6,
∴BD的解析式为:y=-2x+6,
∵P的坐标为(x,y),
∴P的坐标为(x,-2x+6),
∴PE=x,
∴S=
(x+3)(-2x+6)
2-
3(-2x+6)
2,
∴S=-x2+3x (1<x<3),
S=-(x-
3
2)2+
9
4,
∴S的最大值为
9
4.
(3)不存在.
当x=
3
2时,y=-2×
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