已知等边三角形ABC内有一点P到其边的距离分别为3:4:5,求AB为边的正方形面积.T^T

已知等边三角形ABC内有一点P到其边的距离分别为3:4:5,求AB为边的正方形面积.T^T

设该等边三角形的边长为a,
该等边三角形的高为√3a /2,
该三角形面积S=(1/2) * a * (√3a /2)=√3a² /4
又P到三边距离为3、4、5,即P与三角形顶点分别构成的三个三角形的高为3、4、5
则等边三角形面积S=(1/2) * a * 3+(1/2) * a * 4+(1/2) * a * 5=6a
即 6a=√3a² /4,解得a=8√3
以AB为边的正方形面积=a²=192
（其实,如果能理解的话,可根据题意直接得出正三角形的高为3+4+5=12,则边长为12×2/√3）
再问： 才学了勾股定理而已，也只知道平方根，不知道立方根！要怎样写过程呢？
再答： 原题是这样写的“P到其边的距离分别为3,4,5”，而不是比例，写成比例会误导。 这道题没有用到立方根，√3 是指根号3，即3的平方根，不是立方根。 解:连接PA、PB、PC。 三角形的面积S=S(△PAC)+S(△PBC)+S(△PAB) =0.5×AB×PD+0.5×BC×PE+0.5×AB×PF =0.5×AB×(PD+PE+PF) =0.5×AB×(3+4+5) =0.5×AB×12 设三角形的高为h 又因为三角形的面积S=0.5×AB×h 所以0.5AB*12=0.5*AB*h 所以h=12 AB=8乘以根号3 以AB为边的正方形面积=AB^2=192
再问： 三角形的面积S=S(△PAC)+S(△PBC)+S(△PAB) =0.5×AB×PD+0.5×BC×PE+0.5×AB×PF =0.5×AB×(PD+PE+PF) =0.5×AB×(3+4+5) =0.5×AB×12 问：0.5哪来的？PD.PE.PF又是哪来的？有图嚒？
再答： 如图：做PD⊥AC垂足为D，做PE⊥BC垂足为E，做PF⊥AB垂足为F，
PD、PE、PF即分别是题中所说P点到三角形三边AC、BC、AB的距离，根据题意，不妨设PD、PE、PF分别为3、4、5。
做CH⊥AB垂足为H，则CH是△ABC的高。
因为△ABC是等边三角形，所以AB=BC=AC
三角形的面积等于底乘高除2，乘0.5就是除2，效果一样。
S(△PAC)=AC*PD/2=AB*3/2
S(△PBC)=BC*PE/2=AB*4/2S(△PAB)=AB*PF/2=AB*5/2
S(△ABC)=S(△PAC)+S(△PBC)+S(△PAB)=AB*3/2 + AB*4/2 + AB*5/2=AB*(3+4+5)/2=AB*12/2
又因为S(△ABC)=AB*CH/2所以AB*12/2=AB*CH/2，CH=12
因为△ABC是等边三角形，其高CH与边AB的关系为，(AB/2)*根号3=CH即(AB/2)*根号3=12，AB=12*2/根号3=8倍根号3以AB为边长的正方形的面积=AB*AB=8倍根号3×8倍根号3=192
再问： 因为△ABC是等边三角形，其高CH与边AB的关系为，(AB/2)*根号3=CH 即(AB/2)*根号3=12，AB=12*2/根号3=8倍根号3 以AB为边长的正方形的面积=AB*AB=8倍根号3×8倍根号3=192这个，看不懂耶！